第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法(完整版)
【正文】 而調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散的， .)11l n ( 61 2的斂散性判定級(jí)數(shù)例 ????n n221)11l n (l i mnnn???解：考察并應(yīng)用洛必達(dá)法則，代替利用實(shí)變量 ,nxttxxtxtxtx)1l n (l i m1)11l n (l i m,0,10222??????????有時(shí)，當(dāng)令11 1lim0???? tt,11)11l n (lim22?????nnn.)11l n ()3(,11212收斂知級(jí)數(shù)由定理收斂級(jí)數(shù)???????nnnn定理４ (達(dá)朗貝爾比值判別法 ) 設(shè) 為 正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，如果 (1)當(dāng) l 1時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂 ； ???1nnu(3)當(dāng) l=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能 收斂 ，可能 發(fā)散 . luunnn????1lim????? nnn uu 1l i m(2)當(dāng) l 1(或 )時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散 . 證 : (1) 當(dāng) l1，取一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù) , 使得 , 由 極限定義 知，存在自然數(shù) m, ? 1??? rl ??? , , , 3232121mmmmmmmmurruuurruuruu???????????rluumnnn ???? ? ?1:時(shí)，有當(dāng)有 級(jí)數(shù) 收斂，因?yàn)榇思?jí)數(shù)的各項(xiàng)小于收斂的 等比級(jí)數(shù) (公比 r1)對(duì)應(yīng)項(xiàng)： ???? ??? 321 mmm uuu???? mmm ururru 32 也收斂????1 nnu(此級(jí)數(shù)比以上級(jí)數(shù)只多了前 m項(xiàng) ) (2) 當(dāng) l1，取一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù) 使得 ,由 極限定義 知，當(dāng) ，有 mn?? 1???lnnnn uuluu ??????11 ,1 即?當(dāng) 時(shí) ,級(jí)數(shù)的一般項(xiàng) 逐漸增大 , mn? nu0lim ?? ?? nn u由 級(jí)數(shù)收斂 的 必要條件 可知 發(fā)散 . ???1nnu類似地，可證當(dāng) 發(fā)散 . ,l i m 1 時(shí)????? nnn uu ???1nnu(3) 當(dāng) l=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能 收斂 也可能 發(fā)散 . 11)1(1l i ml i m 1 ????????ppnnnnnnuu不能判別斂散性 . 但 p級(jí)數(shù)，當(dāng) p1 時(shí) ,級(jí)數(shù)收斂 , 當(dāng) 時(shí) ,級(jí)數(shù)發(fā)散 . 1?p)0( 14 13 12 11 ??????? pn pppp ?? 例如 p—級(jí)數(shù) .)0( 71的斂散性判定級(jí)數(shù)例 ????xnxnn 1????nnnx級(jí)數(shù)nxnxuunnnnnn1l i ml i m11 ????????解：xxn nn????? 1l i m.1。 1)1(2)12( 2)12(l i m l i m 1 ??? ???????? nnnnuunnnn解：)2( 11 2?????ppnn級(jí)數(shù)，收斂級(jí)數(shù)?.2)121 1收斂（所給級(jí)數(shù)由比較判別法知：??? ???n nnlun nn ???lim則當(dāng) l 1時(shí) 級(jí)數(shù)收斂 ； l 1(或 )時(shí) 級(jí)數(shù)發(fā)散 ； 當(dāng) l=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能 收斂 ，也可能 發(fā)散 . 定理 5(根值審斂法 ， 柯西判別法 ) 設(shè) 為 正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，如果它的一般項(xiàng) un的 n次根的極限等于 l ； ???1nnu????? n nn ul i m 證 :(1) 當(dāng) l1，由 極限定義 ，對(duì)于一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù) , 存在自然數(shù) m， 當(dāng) 時(shí)， 有 ?mn? )1(11收斂收斂，等比級(jí)數(shù)????????nnnnurr?nrurlu nn n ????? 即 ,1?(2) 當(dāng) l1，由 極限定義 ，對(duì)于一個(gè)適當(dāng)小 的正數(shù) ,存在自然數(shù) m，當(dāng) 時(shí) , 有 ?m
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