冪級數(shù)求和函數(shù)方法概括與總結(jié)(編輯修改稿)
2025-06-27 12:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ②① ② 得 其中 為的次多項式 反復(fù)使用以上的方法可以得到這樣就可以求得 。（五）、微分方程法在冪級數(shù)中，有一類含有階乘運(yùn)算的冪級數(shù)，這種冪級數(shù)的和函數(shù)的求法，在現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中涉及的不多，因此成為很多同學(xué)學(xué)習(xí)的一個盲點。此方法將通過實例介紹這類冪級數(shù)和函數(shù)的求法，把冪級數(shù)求和問題劃歸為求解微分方程的問題，也就是把冪級數(shù)的和函數(shù)微分后，再與原來冪級數(shù)作某種運(yùn)算，得到一個含有冪級數(shù)和函數(shù)以及和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函數(shù)。例7：求冪級數(shù) 在下列情況下的和函數(shù)：① ，即公差為的等差數(shù)列，其中為常數(shù)；② ，即公比為的等比數(shù)列，其中為常數(shù)。解：①易知該級數(shù)的收斂域為則 這是一個滿足初始條件的一階常系數(shù)的線性微分方程，解此微分方程得 ② 易知該級數(shù)的收斂域為 這是一個滿足初始條件的一階常系數(shù)的線性微分方程，解此微分方程得 （六）、柯西方法[5]如果級數(shù) 與 都絕對收斂，作這兩個級數(shù)的乘積，其中，則也絕對收斂，且必有。例8:求冪級數(shù)的和函數(shù)解：令則 為絕對收斂級數(shù)再令為 的泰勒級數(shù)：此級數(shù)在內(nèi)是絕對收斂的。從而 所以（七）、差分算子求和法此方法適用于通項系數(shù)是以為自變量的有限次多項式的冪級數(shù)求和問題。若為任意實函數(shù)，為差分算子，則定義函數(shù)的一階差分為 階差分為 定理[6] ：設(shè)為次多項式，則當(dāng)時收斂，而且其和函數(shù) 定理證明：當(dāng)時，冪級數(shù) 收斂，現(xiàn)在定義單位算子及位移算子分別為 則 即由于 所以 例9：求冪級數(shù) 的
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