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例談冪級數(shù)的應用畢業(yè)論文(編輯修改稿)

2025-04-09 01:24 本頁面
 

【文章內容簡介】 ,2!n nnx x xn???? ? ? ? ? ?? 4. 0 ,!nxnxexn??? ?? ? ? ?? 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 10 5. ? ? ? ?111( 1 ) 1 , 1 1!nnnnx x xn? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? 6. ? ? 101l n (1 ) , 1 1n nnx x xn????? ? ? ? ?? 留數(shù)的基礎知識 留數(shù)定理是柯西積分理論在復數(shù)上的發(fā)展,它是計算復變函數(shù)中沿閉合曲線積分的重要工具,所以利用留數(shù)定理求解冪級數(shù)的積分是在復數(shù)中的應用和展開。 雙邊冪級數(shù)與孤立奇點處的洛朗展開 定義: 1 01( ) ( ) ( )()nnnnnnnc cc z a c c z a c z az a z a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? (210) 稱為雙邊冪級數(shù),其中 ( 0, 1, 2, )n? ? ? 為復常數(shù)為 (210)的系數(shù)。 定理 雙邊冪級數(shù) (210)的收斂圓環(huán)為 : ( 0 , )H r z a R r R? ? ? ? ? ? ?,那么 1) 雙邊冪級數(shù) (210)內絕對收斂且內閉一致收斂于 ? ? ? ? ? ?12f x f z f z??; 2) ??fz在 H 內解析; 3) ? ? ()nnnf z c z a??????? 定理 (洛朗定理)在圓環(huán) : ( 0 , )H r z a R r R? ? ? ? ? ? ?內解析函數(shù) ??fz一定可以展開稱為雙邊冪級數(shù) ? ? ()nnnf z c z a??????? ,其中 ? ?? ? 112n nr fcdi a? ?? ? ?? ?? , ( 0, 1, 2, )n ? ? ? , ? 為圓周()a r R? ? ?? ? ? ?并且展開式是唯一的。 奇點的定義和性質 已知函數(shù) ??fx在 0x?? 處不解析,但在 0x 的某個去心鄰域 00 xx ?? ? ? 里處處解析,那么則可以把 0x 稱為函數(shù) ??fx的孤立奇點。 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 11 其中,如果 ??fx在 0x 的洛朗展開式 ? ?0001( ) ( )nnnnnnf x a x x a x x?? ????? ? ? ???中沒有負冪項,就把 0x 稱為 ??fx的可去奇點。 如果 ??fx在 0x 的洛朗展開式 ? ?0001( ) ( )nnnnnnf x a x x a x x?? ????? ? ? ???中只有有限多個負冪項,那么可以設 ( 1 ) 110 0 0( ) ( )mm mmaa ax x x x x x??? ??? ? ?? ? ?,則把 0x 稱為 ??fx的 m級極點,其一級極點也叫做簡單極點。 如果 ??fx在 0x 的洛朗展開式 ? ?0001( ) ( )nnnnnnf x a x x a x x?? ????? ? ? ???中有無窮多個負冪想,就把 0x 稱為 ??fx的本性奇點。 定理 若 0x 是函數(shù) ??fx的孤立奇點,那么下面三個條件式等價的: 1. 0x 是 ??fx的可去奇點,即 ??fx在 0x 的洛朗級數(shù)展開式?jīng)]有負冪項; 2. 0lim ( )n f x a?? ? ? ?; 3. ??fx在 0x 的某去心鄰域內有界。 定理 若 0x 是函數(shù) ??fx的孤立奇點,那么下面三個條件式等價的: 1. 0x 是 ??fx的 m 級極點,即 ??fx在點 0x 處的洛朗展開式中的主要部分為( 1 ) 110 0 0( ) ( )mm mmaa ax x x x x x??? ??? ? ?? ? ?, ? ?0ma? ? ; 2. ??fx在 0x 的某去心鄰域內能表示成 ? ?0()()mxfx xx?? ? ,其中 ()x? 在 0x 的某鄰域內解析,且 0( ) 0x? ? ; 3. 0x 是 ? ? ? ?1gxfx?的 m 級零點。 推論 ??fx的孤立奇點 0x 為極點的充分必要條件是 ? ?0limxxfx? ?? 定理 0x 是 ??fx的本性奇點的充分必要條件是不存在有限或著無限的極限天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 12 ? ?0limxxfx? 。 留數(shù)的定義和性質 定義 :已知有限點 0x 是 ??fx的孤立奇點, ??fx在圓環(huán)域 00 xx ?? ? ? 內解析,則稱積分 1 ()2 c f x dxi? ?為 ??fx在 0x 點的留數(shù),記作 ? ?0Re ,s f x x????,其中 C 是圓環(huán)域內將 0x 包含在其內部的任一正向閉合曲線。 定理 已知函數(shù) ??fx在正向閉曲線 C 上解析,在 C 內除了有限個孤立奇點01, , , nx x x 外處處解析,則 ? ? ? ?12 R e ,nkkc f x d x i s f x x? ?? ??????,這就是留數(shù)定理。 定理 函數(shù) ??fx在有限孤立奇點 0x 處的留數(shù)等于 ??fx在 0x 處的洛朗展開式的負一次冪的系數(shù),即 ? ? 01Re ,s f x x a??????。 定理 已 知 有 限 點 0x 是 ??fx 的 m 級 極 點 , 則? ? ? ? ? ?0 100 11R e , l im ( )1! mmmxx ds f x x x x f xm d x ??? ???????? ???, 其 中 當 1m? 時,? ? ? ? ? ?000Re , l imxxs f x x x x f x??????? 。 推理 已知函數(shù) ? ? ()()Pxfx Qx?,且 ()Px 和 ()Qx 在 0x 處都解析,其中? ?39。0 0 0( ) 0 , ( ) 0 , 0P x Q x Q x? ? ?,則 ? ? 00 39。0()R e , ()Pxs f x x Qx?????。 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 13 3 冪級數(shù)在近似計算與級數(shù)求和中的應用 計算常數(shù) e 的問題 常數(shù) e 是非常重要的無理數(shù),它不僅僅在數(shù)學中能涉及到,在自然科學中也能見到,比如向日葵花子的排列、鸚鵡螺的花紋呈現(xiàn)的螺線方程,這些方程都需要用到 e,而它最早出現(xiàn)的地方卻是計算利息有關。根據(jù)復利計算的規(guī)則,如果把利息計算的周期無限的縮小,本利和也不會無限增加,它的值會趨近一個極限值,這個值便與 e 相關。 e 的定義是這樣的,當 n 趨于無窮時, 11 nn???????的極限,即 1lim 1 nn n?????????,所以在求解 e 的近似值運用冪級數(shù)的級數(shù)展開形式可以求解一些無理數(shù)或者積分運算的近似值,將原函數(shù)展開成 為級數(shù)形式,取有限的項數(shù),在誤差范圍內得出相對精準的結果。 例 證明常數(shù) e 是無理數(shù),并且求出 e 的近似值。 若利用反證法來解決這個問題,那么可以假設 e 是有理數(shù) pq( ,pq N?? ), 因為 e 是自然對數(shù)的底數(shù),那么用麥克勞林級數(shù)表示函數(shù) xe 。 20 1,! 1 ! 2 ! !nnxnx x x xe x R??? ? ? ? ? ? ? ??。 當 1x? 時,上式就可以表示為 01 1 1 11! 1 ! 2 ! !ne nn??? ? ? ? ? ? ??。 這就是常數(shù) e 的級數(shù)展開式,用 nH 來表示 e 的 1n? 項和為01!nnkH k??? 如果用 neH? 來表示誤差,那么 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 14 ? ? ? ?? ?? ?? ?00211!!1 1 11 ! 2 ! ( 3 ) !1 1 111 ! 2 ( 2)( 3 )1 1 111 ! 1 ( 1 )1 1 111 ! !11nnkkeHkkn n nn n n nn n nn n nn???? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ???? ? ?????? 所以011!!nnke H e k n n?? ? ? ?? 那么可以設 1 1 111 ! 2 ! !nH q? ? ? ? ?,由011!!nnke H e k n n?? ? ? ??可以推導出110 ! ( ) ! 1!qq e H q q q q? ? ? ? ?,可以看出 !( )qq e H? 為區(qū)間 (0,1) 的小數(shù),此外 1 1 1! ( ) ! 1 1 ! 2 ! !q qq e H q pq????? ? ? ? ? ? ?????????是正整數(shù),與此前的結論矛盾,故 e 是無理數(shù)。 因為 1 1 11 1 ! 2 ! !e n? ? ? ? ? ?所以 ? 。 同理也可以對超越數(shù) ? 應用常見函數(shù)冪級數(shù)展開中的 1 來進行計算近似值,所以在解此類問題中時需要考慮是否可以將函數(shù)可以寫成冪級數(shù)形式,將不便于運算的函數(shù)變成能進行計算且有規(guī)律的函數(shù)形式,然后再一步一步求解。 冪級數(shù)在計算級數(shù)和中的應用 根據(jù)定理 的推論可知,對冪級數(shù)的每一項分別求導或者求和得出的新的冪級數(shù)的收斂半徑是是不變的,那么利用這個性質,應用到級數(shù)求和中,可以使計算更加簡潔,方便。 例 已知級數(shù)1 ( 1)!nnn?? ??,求級數(shù)的和。 解:設 11() ( 1) !nnnf x xn? ??? ??,其中 x??? ?? 。 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 15 由逐項積分的性質可對 ()fx求導: 可得 ? ? 39。39。111( 1 ) ! !nnnnnnf x x x???????????????? ? ?39。 11 !nnfx n xxn? ???? 因此根據(jù)冪級數(shù)的逐項積分性質可得: 39。 10 11() 1!! nx nxnnf t n xd t t d t et n n?????? ? ? ???? 所以 ? ?39。 39。() 1xxfx eex ? ? ?, 39。() xf x xe? 因此可以得到 ? ? 39。00( ) ( 1 ) 1xx txf x f t d t te d t x e? ? ? ? ??? 當 1x? 時, ? ?1 11( 1) !nn fn?? ???? 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 16 4 冪級數(shù)在求極限、求導、積分運算中的應用 冪級數(shù)在求極限中的應用 求極限的方法很多:等價無窮小的代換;洛必達( L’Hospital)法則;泰勒公式,對特定類型的冪指函數(shù)取對數(shù);多項式相除;數(shù)列極限中利用等差、等比、拆分求解;利用重要極限;換元法;利用定積分求數(shù)列極限等常見方法,但每種方法都有一定的局限性。下面將舉出兩個例子來分析冪級數(shù)在求極限中的應用。 例 已知3 3 3 3 31 1 1( ) 1 1 2 1 2 3 1 2fx n? ? ? ?? ? ? ? ? ?,求 lim ( )n fx?? 。 解:因為3 3 3 3 31 1 1( ) 1 1 2 1 2 3 1 2fx n? ? ? ?? ? ? ? ? ? 所以 ()fx可以表示為3311() 12nifx n?? ? ? ?? 又因為 ? ? 23 3 2 21 2 1 2nn? ? ? ? ? ? ? 所以111 1 1 1( ) 2 2 1 2111( 1 )2nniifx i i nii??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? 所以 lim ( ) 2n fx?? ?。 例 求 1 1 1lim12n n n n n?? ??? ? ???? ? ??? 解:因為111ninin??? 所以極限 1 1 1 1 1 1l im l im 112 11nn nn n n n nnn? ? ? ???????? ? ? ? ? ???? ? ??? ???? 所以 21111lim ln 21n i i xn??? ? ???? ?。 在利用冪級數(shù)求解極限的問題中,一般都是無窮多項的函數(shù)或者數(shù)列的求和天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 17 形式,而根據(jù)冪級數(shù)的定義 20 1 20 nnn a x a a x a x a x?? ? ? ? ? ? ??,可以看出冪級數(shù)的
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