冪級數(shù)解法本征值問題(編輯修改稿)
2025-06-20 07:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 基本解組 中只有一個多項式，這個多項式 勒讓德多項式 ，也稱為 第一類勒讓德函數(shù)； 另一個是無窮級數(shù)，這個無窮級數(shù)稱為 第二類勒讓德函數(shù) ， 記為大寫的 ．可以得出它們的關(guān)系 （ ） 經(jīng)過計算后， 可以通過對數(shù)函數(shù)及勒讓德多項式 表示出，所以第二類勒讓德函數(shù)的一般表達式為 () 特別地 () 可以證明這樣定義的 ，其 遞推公式 和 的 遞推公式 具有相同的形式．而且在一般情況下勒讓德方程 的 通解 為 兩個獨立解的線性疊加 （ ） 但是在滿足自然邊界（即要求定解問題在邊界上有限） 的形式容易看出，它在端點 處是無界的， 故必須取常數(shù) ．從而勒讓德方程的解就只有 第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式： 注：法國數(shù)學家勒讓德（ 1725～ 1833）最早專門研究過在球坐標系中求解數(shù)學物理方程問題時所遇到的一類特殊函數(shù)．由于這類函數(shù)具有多項式形式，所以命名這類函數(shù)為 勒讓德函數(shù) . 綜合可得如下結(jié)論： （ 1）當 不是整數(shù)時，勒讓德方程在區(qū)間 上無有界的解． （ 2）當 為整數(shù)時，勒讓德方程的 通解 為 ，其中 稱為第一類勒讓德函數(shù)（即勒讓德多項式）， 稱為第二類勒讓德函數(shù) . 為整數(shù)，且要求在自然邊界條件下 (即要求在 有界解的情況下 )求解，則勒讓德方程的解 只有第一 類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式 ．因為第二類 勒讓德函數(shù) 在閉區(qū)間 上是無界的． 奇點鄰域的級數(shù)解法：貝塞爾方程的求解 前一章分離變量法中，我們引出了貝塞爾方程，本節(jié)我 我們來討論這個方程的冪級數(shù)解法．按慣例，仍以 表示自變量，以 表示未知函數(shù)，則 階貝塞爾方程為 () 其中， 為任意實數(shù)或復數(shù)（這里特用 而不是 ，表示可以取任意數(shù)）．但在本書中 由于方程的系數(shù)中出現(xiàn) 只限于取實數(shù)， 2?項，所以在討論時，不妨暫先假定 注意在 貝塞爾方程 中，因為 故 為 的 奇點 下面介紹 奇點鄰域的冪級數(shù)解法 ： 貝塞爾方程的求解． 設方程（ ）的一個特解具有下列冪級數(shù)形式： (） 其中，常數(shù)
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