冪級(jí)數(shù)解法本征值問題-資料下載頁(yè)
2025-05-15 07:59本頁(yè)面
【正文】 上面的級(jí)數(shù)實(shí)際上只從 開始．若令 ，則 從零開始，故 可見正、負(fù) 階貝塞爾函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)因子 這時(shí)貝塞爾方程的 通解需要求出與之線性無關(guān)的另一個(gè)特解 ． 我們定義 第二類貝塞爾函數(shù)（又稱為諾依曼函數(shù)） 為 是一個(gè) 特解 ，它既滿足貝塞爾方程，又與 線性無關(guān)． 這樣我們可以得到 其中， 為 歐拉常數(shù)． 可以證明這個(gè)函數(shù)，確實(shí)是 貝塞爾方程的一個(gè)特解 ， 而且是與 線性無關(guān)的（因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 為有限值，而 為無窮大）． 綜述 ：（ 1）當(dāng) ，即不取整數(shù)時(shí)，其貝塞爾方程的 通解可表示為 （ 2）不論 是否為整數(shù)，貝塞爾方程的 通解都 可 表示為 其中 為任意常數(shù)， 為任意實(shí)數(shù)． 15． 2 施圖姆－劉維爾本征值問題 從數(shù)學(xué)物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程往往還附有邊界條件，這些邊界條件可以是明確寫出來的，也可以是沒有寫出來的所謂自然邊界條件．滿足這些邊界條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定值．這些特定值叫做 本征值（或特征值、或固有值）， 相應(yīng)的非零解叫做 本征函數(shù) （特征函數(shù)、固有函數(shù)．求本征值和本征函數(shù)的問題叫做 本征值問題 . 常見的本征值問題都可以歸結(jié)為施圖姆 (. Sturm)－劉維爾 ()本征值問題，本節(jié)就討論具有普遍意義的 施圖姆－劉維爾本征值問題 ． 15． 2． 1施圖姆－劉維爾本征值問題 定義 －劉維爾型方程 通常把具有形式 （ ） 的二階常微分方程叫作施圖姆－劉維爾型方程，簡(jiǎn)稱施－劉型方程． 研究二階常微分方程的本征值問題時(shí)，對(duì)于一般的二階常微分方程 通常乘以適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) ，就可以化成 施圖姆－劉維爾型方程 () 施圖姆－劉維爾型方程（ ）附加以齊次的第一類、 第二類或第三類邊界條件，或自然邊界條件，就構(gòu)成 施圖姆－劉維爾本征值問題 . 討論 (1) 或 再加上自然邊界條件： 有界 .就構(gòu)成了 勒讓德 方程本征值問題 或 （ ） (2) 或 再加上自然邊界條件： 有界 . 即構(gòu)成 連帶勒讓德方程本征值問題 （ ）
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