冪級數(shù)求和法的歸納總結(jié)與推廣-資料下載頁
2025-05-31 12:21本頁面
【正文】 矩陣法利用矩陣工具得到以組合數(shù)為系數(shù)的冪級數(shù)求和公式，以及以多項(xiàng)式為系數(shù)的冪級數(shù)求和方法。設(shè)為n的m次多項(xiàng)式。對于冪級數(shù)，這里我們利用矩陣方法考慮這類冪級數(shù)的求和。易知若K階矩陣A，則 (2)若K階矩陣 ， x 則 （3）容易驗(yàn)證下列關(guān)系式其中右端第二個下三角矩陣是這樣構(gòu)造的： 若第t行元素已知，則將它看成一個形勢上的t位數(shù)，與形式上的二位數(shù)（t）1位按位相乘再按位相加（不進(jìn)位），即結(jié)果就是第t+1行元素。 現(xiàn)在考慮冪級數(shù)的求和問題。 由（2）可知 （5）另一方面，因?yàn)?，所以。命，則由（3）知由于，所以又因事關(guān)于的多項(xiàng)式，由洛必達(dá)法則易知。于是上式右端第一個矩陣，當(dāng)變?yōu)閱挝痪仃嚕? （6）比較（5），（6）兩式右端的矩陣立即得到一組以組合數(shù)為系數(shù)的冪級數(shù)求和公式； (7).........................。由（4）可知對于具體的k而言，上式右端的逆矩陣是不難求得的。由此可知，均可用組合數(shù)線性表出。例如，由， 可得：即.由于是關(guān)于n的多項(xiàng)式，所以利用上式可將寫成組合數(shù)的表示式。這樣便可利用等式（7）寫出其結(jié)果。例1 求和解：例2 求和解： 此法總結(jié)：針對以組合數(shù)為系數(shù)以及以多項(xiàng)式為系數(shù)的冪級數(shù)，利用矩陣的高階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求和。參考文獻(xiàn)：[1]：[M].南寧:廣西人民出版社,1985[2]：[M].上海:上海教育出版社,1984[3]：[4]：（自然科學(xué)版).1991[5]：,1991
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