冪級(jí)數(shù)解法本征值問題(已改無錯(cuò)字)
2023-06-27 07:59:36 本頁面
【正文】 和 可以通過把 和它的導(dǎo)數(shù) 代入（ ）來確定． 將（ ）及其導(dǎo)數(shù)代入（ ）后，得 化簡后寫成 要使上式恒成立，必須使得各個(gè) 次冪的 系數(shù)為零 ， 從而得下列各式： () () () 由（ ） 得 ；代入（ ），得 ．現(xiàn)暫取 ，代入（ ）得 () 因?yàn)? ，由（ ）知： 都可以用 表示，即 由此知（ ）的一般項(xiàng)為 是一個(gè) 任意常數(shù) ，令 取一個(gè) 確定的值 ，就得（ ） 的一個(gè) 特解 ．我們把 取作 這樣選取 與后面將介紹的貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關(guān) 運(yùn)用下列恒等式 使 分母簡化 ，從而，使（ ）中一般項(xiàng)的 系數(shù)變成 （ ） 以（ ）代入（ ）得到貝塞爾方 程（ ）的一個(gè) 特解 用級(jí)數(shù)的比值判別式（或稱達(dá)朗貝爾判別法）可以判定 這個(gè)級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上收斂．這個(gè)無窮級(jí)數(shù) 所確定的函數(shù)，稱為 階第一類貝塞爾函數(shù)，記作 (） 至此，就求出了 貝塞爾方程的一個(gè)特解 ()Jx?另外，當(dāng) 即取 負(fù)值 時(shí)，用同樣方法可 得 貝塞爾方程（ ）的另一特解 （ ） 比較（ ）與（ ）可見，只需在（ ）的右 端把 換成 ，即可得到（ ）．故不論 是正 數(shù)還是負(fù)數(shù)，總可以用（ ）統(tǒng)一地表達(dá)第一類貝 塞爾函數(shù)． 討論： (1)當(dāng) 不為整數(shù)時(shí) ，例如 為分?jǐn)?shù)階貝塞爾函數(shù)： 等 , 當(dāng) 時(shí)， 故這兩個(gè)特解 與 是 線性無關(guān) 的，由齊次線 性常微分方程的通解構(gòu)成法知道，（ ）的 通解 為 （ ） 其中， 為兩個(gè)任意常數(shù)． 根據(jù)系數(shù)關(guān)系，且由達(dá)朗貝爾比值法 故級(jí)數(shù) 和 的 收斂范圍 為 (2)當(dāng) 為正整數(shù)或零時(shí)（注 :以下推導(dǎo)凡 用 即表整數(shù)）， 故有 （ ） 稱 為 整數(shù)階貝塞爾函數(shù)． 易得 需注意在取 整數(shù)的情況 下， 和 線性相關(guān) ， 這是因?yàn)?: 由于 是 零或正整數(shù) ，只要 ，則 是零或負(fù)整數(shù)，而對于零或負(fù)整數(shù)的 函數(shù)為 無窮大 ，所以
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1