【正文】 099084166 指導(dǎo)教師: 張 敬 和 2013年6月8日安徽工業(yè)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)任務(wù)書課題名稱級(jí)數(shù)求和的若干方法學(xué) 院 數(shù)理學(xué)院專業(yè)班級(jí)信息與計(jì)算科學(xué) 091班姓 名徐科學(xué) 號(hào)099084166畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)的主要內(nèi)容及要求： 了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念。 熟悉各種級(jí)數(shù)收斂的的理論，理解部分定理的證明過程。 借助冪級(jí)數(shù)，數(shù)列等知識(shí)給出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的若干方法。提高自己查閱資料的能力。 查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料，至少10篇，其中英文文獻(xiàn)不少于2篇。 熟悉微軟Word或者金山的WPS的使用方法和技巧，以期提高使用計(jì)算機(jī)的能力。無論是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身，還是在其他學(xué)科及技術(shù)的研究與發(fā)展方面，都發(fā)揮著特別重要的作用和影響，且其與我們的日常生活息息相關(guān)。 級(jí)數(shù)求和，作為級(jí)數(shù)理論及應(yīng)用的主要板塊之一。 本文對(duì)級(jí)數(shù)的有關(guān)概念，收斂的定義以及部分定理給與了證明，介紹了運(yùn)用裂項(xiàng)相消, 錯(cuò)位相減, 逐項(xiàng)微分, 逐項(xiàng)積分, 運(yùn)用特殊級(jí)數(shù)求和等等這幾種方法求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和, 并通過實(shí)例說明了這些方法的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：級(jí)數(shù)，收斂，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和，冪級(jí)數(shù)。設(shè)烏龜在Achilles前面s1米處向前爬行，Achilles在后面追趕，當(dāng)Achilles用了t1秒時(shí)間，跑完了s1米時(shí)，烏龜早已向前爬了s2米；當(dāng)Achilles再用t2秒時(shí)間，跑完了s2時(shí)，烏龜又向前爬了s3米...這樣的過程一直繼續(xù)下去，因此Achilles永遠(yuǎn)也追不上烏龜。沒有人會(huì)懷疑，Achilles必將在T秒的時(shí)間內(nèi)，跑了S米后追上烏龜（T和S是常數(shù)）。事實(shí)上，如果將用掉的時(shí)間t1,t2,...(或跑過的距離s1,s2,...)加起來，即： 盡管相加的項(xiàng)有無限個(gè)，但他們的和卻是有限數(shù)T（或S）。這里，我們遇到了無限個(gè)數(shù)相加的問題。這正是本文要討論的級(jí)數(shù)問題其實(shí)，級(jí)數(shù)對(duì)于我們來說一點(diǎn)也不陌生，在我們學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)就已經(jīng)接觸到了她，當(dāng)一個(gè)數(shù)列元素個(gè)數(shù)無限的時(shí)候就是最簡單的的一種級(jí)數(shù)。我國古代數(shù)學(xué)家劉徵創(chuàng)立的“割圓術(shù)”對(duì)圓面積的近似計(jì)算已具有了初步的無窮級(jí)數(shù)的概念。,明確定義了級(jí)數(shù)的收斂性,并研究了級(jí)數(shù)收斂的判別條件. 作為最古老的學(xué)科之一，數(shù)學(xué)其研究者歷來眾多，關(guān)于級(jí)數(shù)的求和,更是有許多專家和學(xué)者對(duì)此產(chǎn)生了濃厚的興趣,他們對(duì)某些具體的題目做出了具體的解法,像定義法,解微分方程法,特殊函數(shù)的展開式,，而目前國內(nèi)大多數(shù)數(shù)學(xué)教材及其他相關(guān)書籍中沒有專門針對(duì)級(jí)數(shù)求和的常用方法設(shè)立板塊，都是對(duì)一些特殊的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和,而對(duì)一般普通的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和方法問題很少有學(xué)者提及,因此在這方面我們有研究的必要,。不僅在自然科學(xué)和工程技術(shù)中能解決許多問題,同時(shí)也是研究分析數(shù)學(xué)的重要工具.1其原因是很多函數(shù)能用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表示，同時(shí)又能借助于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來研究函數(shù)逼近。 2解微分方程。它包含常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。而在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，冪級(jí)數(shù)是最常見，也是最有用的級(jí)數(shù)。凡是收斂的級(jí)數(shù)都是可求和的，問題就在于我們應(yīng)該采取什么樣的方法來簡化級(jí)數(shù)的求和問題，我們將在本文里系統(tǒng)的介紹求和方法和技巧。當(dāng)然我們無法直接對(duì)無窮個(gè)實(shí)數(shù)逐一進(jìn)行加法運(yùn)算，所以必須對(duì)上述的級(jí)數(shù)求和給出合理的定義。定義03：如果級(jí)數(shù)既有無限個(gè)正項(xiàng)，又有無限個(gè)負(fù)項(xiàng)，那么此類級(jí)數(shù)就是任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 現(xiàn)在我們將級(jí)數(shù)的概念從數(shù)推廣到函數(shù)上去，對(duì)于前面討論的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果它的每一項(xiàng)都換成函數(shù)那又會(huì)變成什么呢？我們且看下面的定義定義：設(shè)是具有公共定義域E的一列函數(shù)，我們將這無窮個(gè)函數(shù)的“和” 稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記為。[2] 級(jí)數(shù)02：調(diào)和級(jí)數(shù) [2] 級(jí)數(shù)03：p級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)收斂的定義 定義01：如果無窮級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于有限數(shù)則稱無窮級(jí)數(shù)收斂，且稱它的和為記為 ，如果部分和數(shù)列發(fā)散，則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng) 定義02：設(shè)設(shè)在E上有定義。 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)全體所構(gòu)成的集合稱為的收斂域。由于這是通過逐點(diǎn)定義的方式得到的，因此稱在D上點(diǎn)態(tài)收斂于。例如當(dāng)時(shí)不是無窮小量，因此級(jí)數(shù)發(fā)散。證明： (單調(diào)有界定理),從而本定理得證.收斂原理的作用：他解決了一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂問題,不必研究。 常用級(jí)數(shù) 在介紹比較判別法，柯西判別，達(dá)朗貝爾判別法，積分判別法等方法之前，我們先討論一下針對(duì)前面的那三種重要級(jí)數(shù)的收斂性。下面討論它的斂散性。級(jí)數(shù)03：P級(jí)數(shù) 如前所述它的形式為：（其中是任意實(shí)數(shù)），下面討論p級(jí)數(shù)的斂散性.(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),就是調(diào)和級(jí)數(shù),發(fā)散.(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),根據(jù)比較判別法可知,當(dāng)p = 1時(shí),p級(jí)數(shù)發(fā)散.(Ⅲ) 當(dāng)時(shí),有 即p級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{ Sn }有上界,而且，：（正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂原理)可知p級(jí)數(shù)收斂.綜上所述,? 當(dāng)時(shí),p級(jí)數(shù)發(fā)散。下面借助于以上三個(gè)重要工具我們來探討一下正項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種判別法。（Ⅱ）若級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)也發(fā)散. 證明： 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為則顯然有 于是當(dāng)有上界時(shí)也有上界，而當(dāng)無上界時(shí)必定無上界，因此我們有： （Ⅰ）若級(jí)數(shù)收斂,：（正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂原理),數(shù)列有上界,從而數(shù)列也有上界,：（正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂原理),級(jí)數(shù)收斂. （Ⅱ）若級(jí)數(shù)發(fā)散,：（正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂原理),數(shù)列無上界,從而數(shù)列也無上界,再根據(jù)定理1,級(jí)數(shù)發(fā)散.注：由于改變級(jí)數(shù)有限個(gè)項(xiàng)的數(shù)值，并不會(huì)改變他的收斂性或發(fā)散性（雖然在收斂的情況下可能改變他的“和”），所以本定理的條件可以放寬為：“存在正整數(shù)N與常數(shù)A ”判別法01+ ：比較判別法的極限形式 設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與 ,且 （Ⅰ）若級(jí)數(shù)收斂,且，則級(jí)數(shù)也收斂。 證明：? 若級(jí)數(shù)收斂,且，由已知條件,，有，對(duì)他變形我們可以得到，即，有，依據(jù)判別法01：比較判別法，我們可以得到級(jí)數(shù)也收斂。? 由已知條件，有，即，有依據(jù)判別法01：比較判別法，我們可以得到級(jí)數(shù)也發(fā)散。② 比較判別法的比較對(duì)象常常就是幾何級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù),P級(jí)數(shù)三種級(jí)數(shù)③ 在比較的過程中通常使用放縮方法④ 當(dāng)用等比級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象時(shí),就得到了下面的達(dá)朗貝爾判別法及柯西判別法. 用比較判別法判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,先要根據(jù)問題的條件作一個(gè)大概的估計(jì),猜想原級(jí)數(shù)可能是收斂的,還是發(fā)散的呢?如果猜想原級(jí)數(shù)收斂,就找一個(gè)適當(dāng)?shù)氖諗考?jí)數(shù)來比較,使得原級(jí)數(shù)的各項(xiàng)小于或等于比較級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)。② 若對(duì)一切,不等式 成立,則級(jí)數(shù)發(fā)散. 證明 ①已知有 或 .又已知幾何級(jí)數(shù)收斂,于是級(jí)數(shù)收斂. ② 已知存在無限個(gè)n,有 或 ,即不趨近于,于是級(jí)數(shù)發(fā)散.判別法02+：柯西判別法的極限形式 [4] 正項(xiàng)級(jí)數(shù),若 ,則① 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂。② 若,有 ,則級(jí)數(shù)發(fā)散. 證明: ① 不妨設(shè),有 或 . 已知幾何級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)判別法01：比較判別法,則級(jí)數(shù)收斂. ② 已知,有 或 ，即正項(xiàng)數(shù)列從項(xiàng)以后單調(diào)增加,不趨近于,則級(jí)數(shù)發(fā)散.判別法03+：達(dá)朗貝爾判別法 [4] 設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù),且① 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂。該引理告訴我們：若一個(gè)正級(jí)數(shù)的斂散情況可以由達(dá)朗貝爾判別法判定，那么他也一定能用柯西判別法判定。這就是說柯西判別法的適用范圍比達(dá)朗貝爾判別法判別范圍廣。注：達(dá)朗貝爾判別法判與柯西判別法的本質(zhì)都是比較判別法，與之相比較的是幾何級(jí)數(shù)：把所有要判斷的級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù)相比較的想法而得到的,也就是說,只有那些級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度比某一等比級(jí)數(shù)收斂速度快的級(jí)數(shù),，要求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)受到（0 r 1）的控制；而在判定級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，則是根據(jù)其一般項(xiàng)不趨于零，由于兩者相去甚遠(yuǎn)，因此判別法在許多情況下會(huì)失效，即便對(duì)這樣簡單的級(jí)數(shù)，他們都無能為力。事實(shí)上，還可以建立比拉貝判別法更有效的判別法，比如Bertrand 判別法：設(shè)，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，但是當(dāng)時(shí)魔鬼再一次出現(xiàn)：判別法又失效了因?yàn)槎爬字髟C明:任何收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù),都有比它收斂得更“快”:任何發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)也有比它發(fā)散得更“慢”,也沒用發(fā)散的最慢的級(jí)數(shù),（即逐次建立更有效的判別法的過程）是無限的，雖然每次都能得到新的，適用范圍更廣的判別法，但是這些判別法的證明也變得更加復(fù)雜。下面我們來探討一下積分判別法。如果原級(jí)數(shù)含有n次冪的形式,則可考慮用柯西判別法。如果用上面三種方法都不容易判斷斂散性,可試用拉貝判別法。如果一個(gè)級(jí)數(shù)既有無限個(gè)正項(xiàng)，又有無限個(gè)負(fù)項(xiàng)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種判別法不再適用。 由于Cauchy收斂原理是對(duì)斂散性最本質(zhì)的刻畫，為了判斷任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，我們將關(guān)于數(shù)列的Cauchy收斂原理應(yīng)用于級(jí)數(shù)的情況，即可得到01定理：級(jí)數(shù)的Cauchy收斂原理 級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：對(duì)任意給定的，存在正整數(shù)N,使得 對(duì)一切成立。07 絕對(duì)收斂與更序級(jí)數(shù): 若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則它的更序級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，且和不變，即 = 。定義01：一致收斂 設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集數(shù)集D上，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)對(duì)一切，都有 ，則稱函數(shù)列在D上一致收斂于，記作 定理02