無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法-在線(xiàn)瀏覽
2024-09-30 14:55本頁(yè)面
【正文】 ent of that function it is to study the nature of a few, as well as a tool for numerical calculation. Therefore, in production and the existence of large numbers of natural sciences. Summation of infinite series. In the usual textbooks on the forward and speak generally small and scattered, introduced in this paper focuses on the series for a number of ways. Keywords: infinite series。 無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和方法。 1 各專(zhuān)業(yè)全套優(yōu)秀畢業(yè)設(shè)計(jì)圖紙 各專(zhuān)業(yè)全套優(yōu)秀畢業(yè)設(shè)計(jì)圖紙 目 錄 中文摘要 …………………………………………………………… 2 英文摘要 …………………………………………………………… 2 一、引言 …………………………………………………………… 3 二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)及常見(jiàn)的幾種級(jí)數(shù) ………………………… 3 三、無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法舉例 （一） 利用級(jí)數(shù)和的定義 ………………………………………… 5 （二） 裂項(xiàng)相消法 ……………………………………………… 6 （三） 拆項(xiàng)求和法 …………………………………………… … 7 （四） 利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求和 …………………… 7 （五） 逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分法 ………………………………… 8 （六） 利用傅里葉級(jí)數(shù)求和法 ………………………………… 9 （七） 利用歐拉常數(shù)法 ……………………………………… 10 （八） 方程式法求和 ………………………………………… 11 （九） 利用子序列的極限 …………………………………… 11 （十） 轉(zhuǎn)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 ……………………………… 12 （十一） 利用概率求一類(lèi)函數(shù) ………………………………… 12 四、總 結(jié) ……………………………………………………… 16 五、 參考文獻(xiàn) ………………………………………………… 16 2 無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法 伊杰文 摘要 ： 無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。因此在生產(chǎn)與自然科學(xué)中大量地存在。在通常的論著和教材中一般都講得很少，而且介紹分散，本文集中介紹了幾種求級(jí)數(shù)的方法。summation。只有無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂時(shí)有一個(gè)和；發(fā)散的無(wú)窮級(jí)數(shù)沒(méi)有和。 包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（又包括冪級(jí)數(shù)、 Fourier 級(jí)數(shù)；復(fù)變函數(shù)中的泰勒級(jí)數(shù) 它是表示函數(shù)、研究數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和方法。 二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)及常見(jiàn)的幾種級(jí)數(shù) （一）、 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì) （ 1）、 若有一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)： s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ? 如果每一項(xiàng)乘以一個(gè)常數(shù) a，則和等于 as。 （二）、常見(jiàn)的幾種級(jí)數(shù) （ 1）、 冪級(jí)數(shù) 如下形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 4 0 0 1 01 ( ) ( ) . . . ( )nnn n nn a x x a a x x a x x?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 、 、 、 稱(chēng)為（ x 0x ）的冪級(jí)數(shù)，其中 na （ n=0,1,2,… ）為常數(shù)。 （ 2）、 泰勒展開(kāi)式 (冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法 ) f(x)=f(a)+f39。39。 5 解： 2 3 11 3 5 7 (2 1 ) nnS q q q n q ?? ? ? ? ? ? ? （ 1） 2 3 4 13 5 7 ( 2 3 ) ( 2 1 )nnnq S q q q q n q n q?? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） （ 1） （ 2）得： 2 3 1(1 ) 1 2 2 2 2 nnq S q q q q ?? ? ? ? ? ? ? 11( 2 1 ) 1 2 ( 2 1 )1nnnqn q q n qq??? ? ? ? ?? 12112 ( 2 1 )1 (1 ) 1nnn qqS q nq q q??? ? ? ?? ? ? 212lim 1 (1 )nn qS qq?? ???? 即級(jí)數(shù)和2121 (1 )qS qq???? 例 2 證明級(jí)數(shù)221 1 1a r c ta n a r c ta n a r c ta n2 2 2 2 n? ? ? ???收斂，并求其和。 如果級(jí)數(shù)1 nn u???的部分和數(shù)列 {}nS 有極限 S ，即 limnn S??=S，則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)1 nn u???收斂，這時(shí)極限 S 叫做這級(jí)數(shù)的和，并寫(xiě)成 12 nS u u u? ? ? ? ?，如果 {}nS 沒(méi)有極限，則稱(chēng) 6 無(wú)窮級(jí)數(shù)1 nn u???發(fā)散。 這是一種簡(jiǎn)單、常用的方法，適用于一些簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)求和問(wèn)題。 （三） 拆項(xiàng)求和 求級(jí)數(shù) ??? ?1 )!1/(n nn的和 解：因?yàn)?)!1/(1!/1)!1/(11)!1/( ???????? nnnnnn 所以前 n項(xiàng)和 Sn=[1(1/2!)]+[(1/2!)+(1/3!)]+[（ 1/3?。?（ 1/4?。?]+… +[1/n!1/(n+1)!] 7 =11/(n+1)! 所以 1])!1/(11[lim)!1/(1 ????? ????? nnn nn （四） 利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求和 例 1 求 ? ?0 ( 1) 2 1 !nnnn?? ? ??的和。 注意到 2111 ( )2 ! !xne x x x xn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，有 11 1 111( 1 ) ! 2 ! 3 !n en?? ? ? ? ? ? ???， 21 1 111( 2 ) ! 2 ! 3 !n en?? ? ? ? ? ? ???， 8 因而， 21 2!
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