無窮級數(shù)求和的方法(已改無錯(cuò)字)
2022-09-09 14:55:25 本頁面
【正文】 數(shù)的和。 （九）利用子序列的極限 例 1 計(jì)算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ( 1 ) ( ) ( )2 3 4 5 6 2 7 8 9 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解 ：此級數(shù)每項(xiàng)趨向零，因此只要求 3nS 的極限，注意公式 1 1 11 l n23 nn ?? ? ? ? ? ? ?， 其中 c 為 Euler 常數(shù)， 0n? ? （當(dāng) n?? 時(shí)），因此，對原級數(shù)， 3 1 1 1 1 1112 3 3 2nS nn? ? ? ? ? ? ? ? ? 3l n 3 l n l n 3nnnn ??? ? ? ? ?（當(dāng) n?? 時(shí)） 故原級數(shù)和 ln3S? 我們知道，若 2{}nS 與 21{}nS ? 有相同極限 S ，則 limnn SS?? ?。因此，對于級數(shù)1 nn a???，若通項(xiàng) 0na? （當(dāng) n?? 時(shí)），則部分和的子序列 2{}nS 收斂于 S 。意味著 21{}nS ? 與收斂于 S ，從而1 nn aS?? ??。我們把 2{}nS 與 21{}nS ? 稱為互補(bǔ)子序列。這個(gè)原理可推廣到一般：若1 nn a???的通項(xiàng) 0na? （當(dāng) n?? 時(shí)）， nS 的子序列 1{}npnSS?? ?（ p 是某個(gè)正整數(shù)），則1 nn aS?? ??。 （十）轉(zhuǎn)化為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和 例 1求級數(shù) nn n20 )2/1()]12/(1[??? ?的和函數(shù) 解：因?yàn)榧墧?shù) ?????012)]12/(1[nnxn 的收斂域?yàn)椋?1， 1） 則令 S(x)=?????012)2/1) ] (12/(1[nnn 12 所以)1/(1......1}2)]12/(1{[)(224202,10xxxxxxnxSnnnnn?????????????????? 所以 ?? ????? xx xxdxxdxxS020)1/()1l n (2/1)1/(1)( 所以 S(x)= )1/()1ln (2/1)]12/(1[012 xxxnnn ???????? (1x1) 因?yàn)?x=1/2 在收斂域內(nèi) 所以3ln2/1)]2/1(1/)2/1(1l n [)2/1()2/1) ] (12/(1[)2/1()2/1) ] (12/(1[)(02012???????? ?? ?????nnnn nnxS 所以 3ln)2/1) ] (12/(1[02 ?????nnn （十一） 利用概率求一類無窮級數(shù)的和 （ 1） 由一個(gè)概率問題的兩種解法所引起的思考 （ 2） 從 1 個(gè)裝有 1 個(gè)紅球和 1 個(gè)黑球的窗口里取兩次球，每次取 1個(gè)，取后放回，如果兩次連續(xù)取出紅球，就算勝利。否則就算失敗，假如失敗，則在窗口里多放一個(gè)黑球，再繼續(xù)進(jìn)行抽取，若再次連續(xù)取出紅球，即算勝利。假如失敗，則再多放 1 個(gè)黑球，這樣繼續(xù)進(jìn)行，以致無窮，問取得勝利的概率如何？ 在各次不同的實(shí)驗(yàn)中，取得勝利的概率依次是：2 2 21 1 1, , , ,23 n。而在各次實(shí)驗(yàn)中失敗的概率依次是：2 2 21 1 11 ,1 , ,1 ,23 n? ? ?。因此，在所有各次實(shí)驗(yàn)中全部失敗的概率為： 2 2 21 1 1lim (1 ) (1 ) (1 )23n n?? ? ? ? 2 2 22 2 22 1 3 1 1l i m ( ) ( ) ( )23n n n?? ? ? ?? 13 2 2 21 3 2 4 [ ( 3 ) ( 1 ) ] [ ( 2 ) ] [ ( 1 ) ( 1 ) ]l im 23n n n n n n nn?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 11lim 22n n n?? ??? 就是說，所有各次實(shí)驗(yàn)全部失敗的概率是 12，勝利的概率是 11122?? 下面直接研究勝利的概率： 第一次勝利，其概率為212；第一次失敗，第二次勝利，其概率為2211(1 )23?? 第一次、 第二次失敗，第三次勝利，其概率為2 2 21 1 1(1 ) (1 )2 3 4? ? ? ? 第一次、 第二次、 、第 1n? 次失敗，第 n 次勝利，其概率為2 2 2 21 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 3 ( 1 )nn? ? ? ? ? ? 這樣，全部實(shí)驗(yàn)取得勝利的概率是： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3 2 3 4 2 3 ( 1 )nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 但已知取得勝利的概率為 12 ，從而求得： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3 2 3 ( 1 ) 2nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ 1） （ 2） 改變上述概率問題 容器里裝有 3個(gè)球， 1 個(gè)紅球， 2個(gè)黑球，實(shí)驗(yàn)方法和取得的條件不變，那么，在各次實(shí)驗(yàn)中，取得勝利的概率依次是： 2 2 21 1 1, , , ,3 4 ( 2 )n ? 各次實(shí)驗(yàn)失敗的概率依次是：2 2 21 1 11 , 1 , , 1 ,3 4 ( 2)n? ? ? ?，這樣，在所有各次實(shí)驗(yàn)中都失敗的概率 2 2 21 1 1l i m (1 ) (1 ) [1 ]3 4 ( 2)n n?? ? ? ? ? 2 2 2 22 2 2 23 1 4 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) 1l i m ( ) ( ) [ ] [ ]3 4 ( 1 ) ( 2 )n nnnn?? ? ? ? ? ? ?? ?? 14 2 2 2 22 4 3 5 ( 2) ( 1 ) ( 3 )l im ( ) ( ) [ ] [ ]3 4 ( 1 ) ( 2)n n n n nnn?? ? ? ? ? ?? ?? 2( 3) 2lim 3( 2) 3nnn?????? 勝利的概率就是： 21133??。 下面直接
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