無窮級數(shù)求和的方法(參考版)
2025-07-24 14:55本頁面
【正文】 q 求和方法的探討 [J]．唐山學學報 。 1978． [6]陳傳璋．數(shù)學分析 [M]．北京：人民教育出版社。 參 考文獻 ： [1]同濟大學數(shù)學系。此外，還有利用微分方程傅立葉級數(shù)，以及利用在復數(shù)域內比較實部、虛部的方法去求級數(shù)的和，在這里就不一一列舉了。取球方法和取得勝利的條件不變，則依據(jù)前述分析，得到全部取得勝利的概率是： 2 2 2 2 2 2 2( ) [ 1 ( ) ] ( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ) ] ( )1 1 2 1a a a a a a aa b a b a b a b a b a b n a b n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 5） 下面我們來求這個級數(shù)的和，在各次實驗中，取得勝利的概率依次是： 2 2 2( ) , ( ) , , ( ) ,11a a aa b a b a b n? ? ? ? ? ? 各次實驗失敗的概率依次是： 2 2 21 ( ) , 1 ( ) , , 1 ( ) ,11a a aa b a b a b n? ? ?? ? ? ? ? ? 這樣在所有各次實驗中都失敗的概率是： 2 2 2l im [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]11n a a aa b a b a b n?? ? ? ?? ? ? ? ? ? =22( 2 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 1 )l im ( ) ( 1 ) ( 1 )n b a b b a b b n a b na b a b a b n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 )l im ( ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nb b b a a b n a b n a b na b a b a b b n b n a b n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 于是得到全部取得勝利的概率為 ( 1 ) ( 1 )1 ( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 因此，（ 5）式的和為 16 ( 1 ) ( 1 )1 ( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 特別地當 a=1,b=3 時，易得（ 3）式；當 a=1,b=r1時，易得（ 4）式。因此，在所有各次實驗中全部失敗的概率為： 2 2 21 1 1lim (1 ) (1 ) (1 )23n n?? ? ? ? 2 2 22 2 22 1 3 1 1l i m ( ) ( ) ( )23n n n?? ? ? ?? 13 2 2 21 3 2 4 [ ( 3 ) ( 1 ) ] [ ( 2 ) ] [ ( 1 ) ( 1 ) ]l im 23n n n n n n nn?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 11lim 22n n n?? ??? 就是說，所有各次實驗全部失敗的概率是 12，勝利的概率是 11122?? 下面直接研究勝利的概率： 第一次勝利，其概率為212；第一次失敗，第二次勝利，其概率為2211(1 )23?? 第一次、 第二次失敗，第三次勝利，其概率為2 2 21 1 1(1 ) (1 )2 3 4? ? ? ? 第一次、 第二次、 、第 1n? 次失敗，第 n 次勝利，其概率為2 2 2 21 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 3 ( 1 )nn? ? ? ? ? ? 這樣，全部實驗取得勝利的概率是： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3 2 3 4 2 3 ( 1 )nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 但已知取得勝利的概率為 12 ，從而求得： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3 2 3 ( 1 ) 2nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ 1） （ 2） 改變上述概率問題 容器里裝有 3個球， 1 個紅球， 2個黑球，實驗方法和取得的條件不變，那么，在各次實驗中，取得勝利的概率依次是： 2 2 21 1 1, , , ,3 4 ( 2 )n ? 各次實驗失敗的概率依次是：2 2 21 1 11 , 1 , , 1 ,3 4 ( 2)n? ? ? ?，這樣，在所有各次實驗中都失敗的概率 2 2 21 1 1l i m (1 ) (1 ) [1 ]3 4 ( 2)n n?? ? ? ? ? 2 2 2 22 2 2 23 1 4 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) 1l i m ( ) ( ) [ ] [ ]3 4 ( 1 ) ( 2 )n nnnn?? ? ? ? ? ? ?? ?? 14 2 2 2 22 4 3 5 ( 2) ( 1 ) ( 3 )l im ( ) ( ) [ ] [ ]3 4 ( 1 ) ( 2)n n n n nnn?? ? ? ? ? ?? ?? 2( 3) 2lim 3( 2) 3nnn?????? 勝利的概率就是： 21133??。假如失敗，則再多放 1 個黑球，這樣繼續(xù)進行，以致無窮，問取得勝利的概率如何？ 在各次不同的實驗中，取得勝利的概率依次是：2 2 21 1 1, , , ,23 n。 （十）轉化為函數(shù)項級數(shù)的和 例 1求級數(shù) nn n20 )2/1()]12/(1[??? ?的和函數(shù) 解：因為級數(shù) ?????012)]12/(1[nnxn 的收斂域為（ 1， 1） 則令 S(x)=?????012)2/1) ] (12/(1[nnn 12 所以)1/(1......1}2)]12/(1{[)(224202,10xxxxxxnxSnnnnn??
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鄂ICP備17016276號-1