無窮級(jí)數(shù)求和的方法(編輯修改稿)
2024-09-02 14:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 xxn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 得 ? ?01( 1 ) ( c o s 1 s i n 1 )2 1 ! 2nnnn?? ? ? ??? 例 2 求 21 !nnn??? 解： 21 1 1 2( 1 ) 1 1! ! ( 1 ) ! ( 2 ) !n n n nn n n nn n n n? ? ? ?? ? ? ???? ? ???? ? ? ?。 注意到 2111 ( )2 ! !xne x x x xn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，有 11 1 111( 1 ) ! 2 ! 3 !n en?? ? ? ? ? ? ???， 21 1 111( 2 ) ! 2 ! 3 !n en?? ? ? ? ? ? ???， 8 因而， 21 2!nn en?? ??。 這種方法的基本思想是：欲求的和1 nn u???令 nnnua?? ，若冪級(jí)數(shù) nnnu ax? 函數(shù)已知，設(shè) () nnf x a x? ，則11 ()nnnnnu a f??????????。此方法的關(guān)鍵是找出函數(shù) ()fx。 （五） 逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分法 例 1求 2021() ! nnnS x xn????? 的和。 解：此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 ?? ，在任意區(qū)間上可逐項(xiàng)積分。 222 2 10 0 0001 1 ( )( ) ( 2 1 )! ! !xx nn n xn n nxS t d t n t d t x x x en n n? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? 所以 2220( ) [ ( ) ] ( ) (1 2 )x xxS x S t d t x e x e? ? ? ?? 例 2 求 1 1 11 4 7 10? ? ? ?的和 。 解：由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)01( 1) 31nn n?? ? ??收斂，設(shè)其和為 S。 再令 3101( ) ( 1 ) 31nnnf x xn? ???? ??，有 (0) 0f ? 此冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?(1,1]? ，下面求 ()fx的表達(dá)式。 由于 3 3 6 9 30139。( ) ( 1 ) 1 1nnnf x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 所以 300 1( ) 39。( ) 1xxf x f t d t d tt?? ??? 9 21 1 1 2 1 1l n( 1 ) l n( 1 ) ( a r c ta n a r c ta n )36 3 3 3xx x x ?? ? ? ? ? ? ? 因此 1(1) ln 23 33Sf ?? ? ? 這種方法用于求某些函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的條件下，對(duì)其進(jìn)行逐項(xiàng)微分或積分后求和，然后再反過來求一次積分或微分，便可得到原級(jí)數(shù)的和函數(shù)。 （六） 利用傅立葉級(jí)數(shù)求和法 例 1 求2 2 21 1 11 3 5 7? ? ? ?的和。 解：將函數(shù) ||x 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級(jí)數(shù)得： 224 c o s 3 c o s 5| | ( c o s ) , [ , ]2 3 5xxx x x? ???? ? ? ? ? ? ? 令 x ?? ，則 22 2 21 1 11 3 5 7 8?? ? ? ? ? 類似地，將 2()f x x? 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級(jí)數(shù)后，令 x ?? 可得： 221 1 6n n ??? ?? 令 0x? 可得： 1221 ( 1) 12nn n????? ?? 將 ()f x x? 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級(jí)數(shù)后， 令 2x ?? ，可得： 11( 1)2 1 4nn n????? ??? 在將某些函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，往往得到一些比較規(guī)范的三角級(jí)數(shù)展開式。此時(shí)，適當(dāng)選取自變量的取值，便可得到一些數(shù)值級(jí)數(shù)的和。 10 （七） 利用歐拉常數(shù)法 例 1求11(2 1)nS nn??? ?? 解：111 1 2()( 2 1 ) 2 1nnnkkS k k k k??? ? ????? 11 1 1 12 ( )3 5 2 1nk kn?? ? ? ? ? ?? 11 1 1 1 2 1 1 12 ( 1 ) 2 ( 1 )2 3 2 2 1 2 4 2nk k n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2111 1 22 2 221nnkkk k n??? ? ? ???? 2 22 ( l n ) 2 ( l n 2 ) 221nnc n c n n??? ? ? ? ? ? ? ?? 2 22 2 l n 2 2 2 2 2 l n 2 ( )21nn nn??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 即 2 2ln2S?? 極限11lim( ln )nn k nk?? ? ??的值為所謂的歐拉常數(shù)，設(shè) 為 c （ ? ） 則有：11 lnn nk nck ?? ? ? ??，其中 lim 0nn ??? ?，利用上式，可求某些數(shù)值級(jí)數(shù)的和。 （八） 方程式法求和 例 1 求冪級(jí)數(shù) 2 3 4 5 6( ) 1 2 1 3 2 4 1 3 5 2 4 6x x x x xS x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?的和。 解：收斂半徑1111l im2 4 6 2 ( 2 2)l im12 4 6 2nn nnR annan?????? ? ? ??? ? ? ???（令 n 為偶數(shù)）， 同理可求 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，收斂半徑 R??? 。 對(duì)已知級(jí)數(shù)兩邊逐項(xiàng)微分可得 39。( ) 1 ( )S x xS x?? ，且 (0) 1S ? 。 解此微分方程得 220( ) 1)xxtS x e e dt??? 。 11 思想 :設(shè)法證明級(jí)數(shù)的和滿足某個(gè)方程式，然后求此方程的解，即得級(jí)
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