【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 頁(yè) ] 定理 （狄利克雷判別法） 若 ?? ua dxxfuF )()(在區(qū)間上 ? ???,a 上有界 , )(xg 在 ? ???,a 上當(dāng) ???x 時(shí)單調(diào)趨于 0,則 ???a dxxgxf )()( 收斂 . 定理 （阿貝爾判別法） 若 ???a dxxf )(收斂 , )(xg 在 ? ???,a 上單調(diào)有界 , 則 ???a dxxgxf )()(收斂 . 例 討論下列無(wú)窮積分為絕對(duì)收斂還是條件收斂 . dxx x? ??1sin ??? ?????? ??????11 2121,s i n22s i ns i n,2,，而對(duì)任給從而有則解：令udtt tt d tt tdxx xt d tdxtx ? ? .1s i n.s i ns i n2.2,22c o s21s i ns i ns i n01,2c o s1c o ss i n111121u1是條件收斂的，在即發(fā)散發(fā)散，故所以發(fā)散這里收斂，又故由狄利克雷判別法知，單調(diào)趨于時(shí)，而當(dāng)有???????????????????????????xxdxxxdttttdttttttttdtttxxut d t 例 討論積分 ???a pxdx (a0) 的收斂性（ p 為實(shí)數(shù)） 解：當(dāng) 1p? 時(shí) ,因 ?ba pxdx = ???? ab lnln （ ???b ） 所以 ???a dxx1發(fā)散． 黃岡師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文 [第 7 頁(yè) 共 22 頁(yè) ] 當(dāng) ?p 1時(shí) ?ba pxdx = bapxp ?? 11 1 = )(1 1 11 pp abp ?? ?? =Ip(b) 因?yàn)? ???blimIp(b)=??????????? .1,11,1 ppapp 所以積分 ???a pxdx 當(dāng) p1 時(shí)收斂 ,值為11??pap；當(dāng) p1 時(shí)發(fā)散 例 討論積分 ????? ? dxe xa || (a0)的收斂性． 解：因 ???? ?0 || dxe xa ???blim( aea bax 1)10 ?? ? 同理 adxe xa 10 || ???? ? 所以 ????? ? dxe xa ||收斂 , 且 ????? ? dxe xa || ????? ?0 || dxe xa adxe xa 20 || ???? ? 本章小結(jié) 詳細(xì)介紹了無(wú)窮積分比較判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法 ,用不同的判別法來(lái)判斷例題的斂散性 . 反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂關(guān)系討論 [第 8 頁(yè) 共 22 頁(yè) ] 第 3 章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 的收斂方法 無(wú)窮級(jí)數(shù) 的概念 給定 一 個(gè)數(shù)列 }{nu ,對(duì)它的各項(xiàng)依次用“ +”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式 ?? ????? nuuuu 321 （ 31） 稱為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（也常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)） ,其中 nu 稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )1( 的通項(xiàng)或一般項(xiàng) .數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )1( 也常寫作 ???1n nu或簡(jiǎn)單寫作 ?nu .數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )1( 的前 n 項(xiàng)之和 ,記為 nnk kn uuuuuS ?????? ?? ?3211 , （ 32） 稱它 為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )1( 的第 n 個(gè)部分和 ,也簡(jiǎn)稱部分和 . 若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1n nu的部分和數(shù)列 ??nS 收斂于 S 即（ SSnn ???lim） ,則稱 ???1n nu收斂 ,稱 S 為 ???1n nu的和 ,記作 ?? ?????? nuuuuS 321 或 ?? nuS . 若 ??nS 是發(fā)散數(shù)列 ,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（ 31）發(fā)散 . 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般判別方法 定理 （正 向級(jí)數(shù)的單調(diào)有界判別）正項(xiàng)級(jí)數(shù) ?nu 收斂的充要條件是：部分和數(shù)列 ??nS 有界 ,即存在某正數(shù) M,對(duì)一切正整數(shù) n 有 MSn? . 定理 （正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較原則）設(shè)級(jí)數(shù) ?nu 和 ?nv 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,如果存在某正整數(shù) N ,對(duì)一切 Nn? 都有 nn vu? , 則 (i)若級(jí)數(shù) ?nu 收斂 ,則級(jí)數(shù) ?nv 也收斂； 黃岡師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文 [第 9 頁(yè) 共 22 頁(yè) ] (ii)若級(jí)數(shù) ?nu 發(fā)散 ,則級(jí)數(shù) ?nv 也發(fā)散 . 例 判別級(jí)數(shù) ? ?22 1an斂散性； 解：因?yàn)?22 110 nan ??? 而正項(xiàng)級(jí)數(shù) ?21n收斂，由比較判別法知級(jí)數(shù) ? ?22 1an收斂 . 推論 （正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式） 設(shè)級(jí)數(shù) ?nu 和 ?nv 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) .若 ,lim lvunnn ??? 則 (i)當(dāng) ????l0 時(shí) ,級(jí)數(shù) ?nu 和 ?nv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散； (ii)當(dāng) 0?l 時(shí)且級(jí)數(shù) ?nv 收斂時(shí) ,級(jí)數(shù) ?nu 也收斂； (iii)當(dāng) ???l 時(shí)且級(jí)數(shù) ?nv 發(fā)散時(shí) ,級(jí)數(shù) ?nu 也發(fā)散 . 例 ? ?? ）（ 1)1( aan 斂散性； 解：因?yàn)?aaatana ttttnn ln1lnlim1lim1 1lim00 ????????? 而正項(xiàng)級(jí)數(shù) ?n1 發(fā)散，有比較判別法極限形式知 ? ?? ）（ 1)1( aan 發(fā)散 . 判別級(jí)數(shù)根據(jù)比較原則 ,可以利用已知收斂或者發(fā)散級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象來(lái)判別其他級(jí)數(shù)的斂散性 .本段所介紹的兩個(gè)方法是以等比級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象而得到的 . 定理 （達(dá)朗貝爾判別法 ,或稱比式判別法）設(shè) ?nu 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,且存在某正整數(shù) 0N 及常數(shù) ).10( ??qq (i)若對(duì)一切 0Nn? ,成立不等式 quunn ??1, 則級(jí)數(shù) ?nu 收斂 . 反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂關(guān)系討論 [第 10 頁(yè) 共 22 頁(yè) ] (ii)若對(duì)一切 0Nn? ,成立不等式 11??nnuu , 則級(jí)數(shù) ?nu 發(fā)散 . 例 ? ???? ! 1231 n n ）（? 的斂散性 解 因?yàn)? 12112l i m)12(31!)!1()12(31l i ml i m 1???????????????????????nnnnnnuunnnnn ?? 所以正項(xiàng)級(jí)數(shù) ? ???? ! 1231 n n ）（? 發(fā)散 . 推論 （比 式判別法的極限形式 )若 ?nu 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,且 ,lim 1 quu nnn ???? 則 （ i）當(dāng) 1?q 時(shí) ,級(jí)數(shù) ?nu 收斂； （ ii）當(dāng) 1?q 或 ???q 時(shí) ,級(jí)數(shù) ?nu 發(fā)散 . 定理 （柯西判別法 ,或稱根式判別法）設(shè) ?nu 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,且存在某正整數(shù) 0N 及正常數(shù) l , (i)若對(duì)一切 0Nn? ,成立不等式 ,1??lun n 則級(jí)數(shù) ?nu 收斂 . (ii)若對(duì)一切 0Nn? ,成立不等式 ,1?n nu 則級(jí)數(shù) ?nu 發(fā)散 . 例 判斷 nnn? ?????? ?12判別法； 黃岡師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文 [第 11 頁(yè) 共 22 頁(yè) ] 解 因?yàn)?12112lim12limn ?????????? ? ???? nnnn nnn 所以由根式判別法知 nnn? ?????? ?12收斂 . 推論 （ 根式判別法的極限形式）設(shè) ?nu 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,且 ,lim lun nn ??? 則 (i)當(dāng) 1?l 時(shí) ,級(jí)數(shù) ?nu 收斂； (ii)當(dāng) 1?l 時(shí) ,則級(jí)數(shù) ?nu 發(fā)散 . 積分判別法時(shí)利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì) ,并以反常積分為比較對(duì)象來(lái)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 . 定理 (積分判別法 ) 設(shè) f 為 ? ???,1 上非負(fù)減函數(shù) ,那么正項(xiàng)級(jí)數(shù) ? )(nf 與反常積分 ???1 )( dxxf同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 . 定理 (拉貝判別法 ) 設(shè) ?nu 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,且存在某正整數(shù) 0N 及常數(shù) r , (i)若對(duì)一切 0Nn? ,成立不等式 1)1( 1 ??? ? ruun nn , 則級(jí)數(shù) ?nu 收斂； (ii)若對(duì)一切 0Nn? ,成立不等式 ,1)1( 1 ?? ?nnuun 則級(jí)數(shù) ?nu 發(fā)散 . 例 用拉貝判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 ? ????? ???? 12 12. . .42 )12(. . .31 nnn 解：因?yàn)? 反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂關(guān)系討論 [第 12 頁(yè) 共 22 頁(yè) ] 123)32)(22()56(lim)12(31)12()2(42)32()22(242)12(311lim)11(limnn1n?????????????????????????????????????