反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂關(guān)系的討論畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-24 23:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 . 第4章 探討了反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂關(guān)系，并對(duì)它們的判別法進(jìn)行了對(duì)比研究. 第2章 反常積分的收斂方法通常所講的反常積分主要包含兩類：無(wú)窮區(qū)間上的反常積分(或稱無(wú)窮積分)和無(wú)界函數(shù)的反常積分(或稱瑕積分).,無(wú)窮積分和瑕積分又可以相互轉(zhuǎn)化,因此,只需要對(duì)其中一類反常積分進(jìn)行討論即可,以下主要以無(wú)窮積分為例,探析反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性關(guān)系.[3]（比較判別法） 設(shè)定義在 上的兩個(gè)非負(fù)函數(shù)和都在任何有限區(qū) 上可積,且滿足 , 則當(dāng)收斂時(shí)必收斂(或者,當(dāng)發(fā)散時(shí)必發(fā)散）. （比較判別法的極限形式） : 若和都在任何有限區(qū)間上可積,當(dāng)時(shí),且,則有： (i)當(dāng)時(shí),與同斂態(tài)；（ii）當(dāng)時(shí),有收斂可推知也收斂； (iii)當(dāng)時(shí),由發(fā)散可推知也發(fā)散. 特別地,如果選用作為比較對(duì)象,則我們有如下兩個(gè)推論（稱為柯西判別法）. （Cauchy判斂法）: 若定義于 ,且在任何有限區(qū)間上可積,則有：(i)當(dāng)； （ii） （Cauchy判斂法的極限形式 ）: 若是定義于上的非負(fù)函數(shù),在任何有限區(qū)間上可積,且 ,則有 （i）當(dāng) (ii)當(dāng) 討論下列無(wú)窮積分的收斂性 解：,所以由推論3知收斂.這里來(lái)介紹兩個(gè)判別一般無(wú)窮積分收斂的判別法（狄利克雷判別法） 若在區(qū)間上上有界 , 在上當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于0,則收斂. （阿貝爾判別法） 若收斂 ,在上單調(diào)有界 ,則收斂. 討論下列無(wú)窮積分為絕對(duì)收斂還是條件收斂. 討論積分 (a0) 的收斂性（p為實(shí)數(shù)）解：當(dāng)時(shí),因=（）所以發(fā)散．當(dāng)1時(shí)===Ip(b)因?yàn)? Ip(b)=所以積分 當(dāng)p1時(shí)收斂,值為；當(dāng)p1時(shí)發(fā)散 討論積分 (a0)的收斂性．解：因(同理所以收斂, 且詳細(xì)介紹了無(wú)窮積分比較判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法,用不同的判別法來(lái)判斷例題的斂散性. 第3章 無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂方法 無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念 給定一個(gè)數(shù)列,對(duì)它的各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式 （31）稱為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（也常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)）,記為 , （32）稱它為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的第個(gè)部分和,也簡(jiǎn)稱部分和.若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于 即（）,則稱收斂,稱為的和,記作 或 .若是發(fā)散數(shù)列,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（31）發(fā)散. （正向級(jí)數(shù)的單調(diào)有界判別）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有界,即存在某正數(shù)M,對(duì)一切正整數(shù)有.（正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較原則）設(shè)級(jí)數(shù)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果存在某正整數(shù),對(duì)一切都有 ,則(i)若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)也收斂；(ii)若級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)也發(fā)散. 判別級(jí)數(shù)斂散性；解：因?yàn)槎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂.（正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式） 則 (i)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散； (ii)當(dāng)時(shí)且級(jí)數(shù)收斂時(shí),級(jí)數(shù)也收斂；(iii)當(dāng)時(shí)且級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí),級(jí)數(shù)也發(fā)散.；解：因?yàn)槎?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，有比較判別法極限形式知發(fā)散.判別級(jí)數(shù)根據(jù)比較原則,.（達(dá)朗貝爾判別法,或稱比式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正整數(shù)及常數(shù)(i)若對(duì)一切,成立不等式 ,則級(jí)數(shù)收斂.(ii)若對(duì)一切,成立不等式 ,則級(jí)數(shù)發(fā)散.解 因?yàn)樗哉?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.（比式判別法的極限形式)若為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且 則 （i）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂； （ii）當(dāng)或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.（柯西判別法,或稱根式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正整數(shù)及正常數(shù),(i)若對(duì)一切,成立不等式則級(jí)數(shù)收斂.(ii)若對(duì)一切,成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散. 判斷判別法；解 因?yàn)樗杂筛脚袆e法知收斂.（根式判別法的極限形式）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(i)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(ii)當(dāng)時(shí),則級(jí)數(shù)發(fā)散.積分判別法時(shí)利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì),并以反常積分為比較對(duì)象來(lái)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性. (積分判別法) 設(shè)為上非負(fù)減函數(shù),那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.(拉貝判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正整數(shù)及常數(shù),(i)若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)收斂；(ii)若對(duì)一切,成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散. 用拉貝判別法判別下
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