無窮級數(shù)求和的方法(已修改)
2025-08-08 14:55 本頁面
【正文】 1 各專業(yè)全套優(yōu)秀畢業(yè)設(shè)計(jì)圖紙 各專業(yè)全套優(yōu)秀畢業(yè)設(shè)計(jì)圖紙 目 錄 中文摘要 …………………………………………………………… 2 英文摘要 …………………………………………………………… 2 一、引言 …………………………………………………………… 3 二、無窮級數(shù)的性質(zhì)及常見的幾種級數(shù) ………………………… 3 三、無窮級數(shù)求和的方法舉例 （一） 利用級數(shù)和的定義 ………………………………………… 5 （二） 裂項(xiàng)相消法 ……………………………………………… 6 （三） 拆項(xiàng)求和法 …………………………………………… … 7 （四） 利用已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式求和 …………………… 7 （五） 逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分法 ………………………………… 8 （六） 利用傅里葉級數(shù)求和法 ………………………………… 9 （七） 利用歐拉常數(shù)法 ……………………………………… 10 （八） 方程式法求和 ………………………………………… 11 （九） 利用子序列的極限 …………………………………… 11 （十） 轉(zhuǎn)化為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和 ……………………………… 12 （十一） 利用概率求一類函數(shù) ………………………………… 12 四、總 結(jié) ……………………………………………………… 16 五、 參考文獻(xiàn) ………………………………………………… 16 2 無窮級數(shù)求和的方法 伊杰文 摘要 ： 無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。因此在生產(chǎn)與自然科學(xué)中大量地存在。 無窮級數(shù)的求和方法。在通常的論著和教材中一般都講得很少，而且介紹分散，本文集中介紹了幾種求級數(shù)的方法。 關(guān)鍵詞： 無窮級數(shù)；求和；極限 中圖分類號 ： The summation methods of infinite series Yi Jiewen Abstract: Infinite series of higher mathematics is an important ponent of that function it is to study the nature of a few, as well as a tool for numerical calculation. Therefore, in production and the existence of large numbers of natural sciences. Summation of infinite series. In the usual textbooks on the forward and speak generally small and scattered, introduced in this paper focuses on the series for a number of ways. Keywords: infinite series。summation。limits 3 一、引言 無窮級數(shù)是研究有次序的可數(shù)無窮個(gè)數(shù)或者函數(shù)的和的收斂性及和的數(shù)值的方法，理論以數(shù)項(xiàng)級數(shù)為基礎(chǔ)，數(shù)項(xiàng)級數(shù)有發(fā)散性和收斂性的區(qū)別。只有無窮級數(shù)收斂時(shí)有一個(gè)和；發(fā)散的無窮級數(shù)沒有和。算術(shù)的加法可以對有限個(gè)數(shù)求和，但無法對無限個(gè)數(shù)求和，有些數(shù)列可以用無窮級數(shù)方法求和。 包括數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（又包括冪級數(shù)、 Fourier 級數(shù)；復(fù)變函數(shù)中的泰勒級數(shù) 它是表示函數(shù)、研究數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。因此在生產(chǎn)與自然科學(xué)中大量地存在。無窮級數(shù)的求和方法。在通常的論著和 教材中一般都講得很少，而且介紹分散，本文集中介紹了幾種求級數(shù)的方法。 二、無窮級數(shù)的性質(zhì)及常見的幾種級數(shù) （一）、 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) （ 1）、 若有一個(gè)無窮級數(shù)： s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ? 如果每一項(xiàng)乘以一個(gè)常數(shù) a，則和等于 as。 as = 1 2 3 ... ...na u a u a u a u? ? ? ? ? （ 2） 、 收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加或相減，如有兩個(gè)無窮級數(shù)： s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?和 t = 1 2 3 ... nv v v v? ? ? ? 則 s+t= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?+ 1 2 3 ... nv v v v? ? ? ? （ 3 ）、 級 數(shù)前 面 加上 有 限項(xiàng) 或減 去 有限 項(xiàng) 不影 響其 收 斂性 ， 如 ：s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?和 s =1u 這兩個(gè)級數(shù)的收斂性是一樣的。 （二）、常見的幾種級數(shù) （ 1）、 冪級數(shù) 如下形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 4 0 0 1 01 ( ) ( ) . . . ( )nnn n nn a x x a a x x a x x?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 、 、 、 稱為（ x 0x ）的冪級數(shù)，其中 na （ n=0,1,2,… ）為常數(shù)。 當(dāng) 0x =0 時(shí)，01 ()nnn a x x?? ?? 0 nn ax????稱為 x的冪級數(shù)。 （ 2）、 泰勒展開式 (冪級數(shù)展開法 ) f(x)=f(a)+f39。(a)/1!*(xa)+f39。39。(a)/2!*(xa)2+...f(n)(a)/n!*(xa)n+... （ 3）、 實(shí)用冪級數(shù)： e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+... ln(1+x)= xx^2/3+x^3/3...(1)^(k1)*x^k/k+... (|x|1) sin x = xx^3/3!+x^5/5!...(1)^(k1)*x^(2k1)/(2k1)!+... (∞x∞) cos x = 1x^2/2!+x^4/4!...(1)k*x^(2k)/(2k)!+... (∞x∞) arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|1) arccos x = π ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5
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