無窮級數(shù)求和的方法-展示頁
2024-08-09 14:55本頁面
【正文】 )2 1 ! 2nnnn?? ? ? ??? 例 2 求 21 !nnn??? 解： 21 1 1 2( 1 ) 1 1! ! ( 1 ) ! ( 2 ) !n n n nn n n nn n n n? ? ? ?? ? ? ???? ? ???? ? ? ?。其基本思想是收斂求和級數(shù)1 nn a???的通項(xiàng) na 分解為： 1n n na b b???，代入級數(shù)的部分和 nS ，相鄰兩項(xiàng)相消，則有 11nnS b b???，并且已知1lim nn bb??? ?，所以11 limnnnn a S b b???? ? ? ??。 (二） 裂項(xiàng)相消法 例 1 求21 141nS n??? ?? 解：2111 1 1 1 1 1( ) ( 1 )4 1 2 2 1 2 1 2 2 1n kkS k k k n????? ? ? ? ?? ? ? ??? 1 1 1l im l im (1 )2 2 1 2nnnSS n? ? ? ?? ? ? ? ?? 例 2 求21 1a rc ta n 1nS nn??? ??? 解：2111 ( 1 )a r c t a n a r c t a n1 1 ( 1 )nnn kk kkS k k k k?? ???? ? ? ? ??? 1 [ a r c t a n ( 1 ) a r c t a n ]nk kk?? ? ?? a r c ta n ( 1 ) a r c ta n 1 a r c ta n ( 1 ) 4nn ?? ? ? ? ? ? l im l im [ a r c ta n ( 1 ) ]4 2 4 4nnnS S n ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?。 證明 級數(shù)的部分和221 1 1a r c ta n a r c ta n a r c ta n2 2 2 2nS n? ? ? ???， 注意到公式 a r c ta n a r c ta n a r c ta n1?? ????? ???，有 22 22111 1 22 2 2a r c ta n a r c ta n a r c ta n a r c ta n112 2 2 312 2 2S? ?? ? ? ???? ?， 32 221 2 1 3a r c ta n a r c ta n a r c ta n a r c ta n2 3 3 2 3 4SS? ? ? ? ???， 用數(shù)學(xué)歸納法易證 a r c ta n ( 1 , 2 , )1n nSnn???， 因此， lim lim a r c ta n 14nnn nS n ?? ? ? ????， 從而21 1arctan 2n n?? ??收斂，和為 4? 。(a)/2!*(xa)2+...f(n)(a)/n!*(xa)n+... （ 3）、 實(shí)用冪級數(shù)： e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+... ln(1+x)= xx^2/3+x^3/3...(1)^(k1)*x^k/k+... (|x|1) sin x = xx^3/3!+x^5/5!...(1)^(k1)*x^(2k1)/(2k1)!+... (∞x∞) cos x = 1x^2/2!+x^4/4!...(1)k*x^(2k)/(2k)!+... (∞x∞) arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|1) arccos x = π ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|1) arctan x = x x^3/3 + x^5/5 ... (x≤1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(1)k1*x2k1/(2k1)!+... (∞x∞) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(1)k*x2k/(2k)!+... (∞x∞) arcsinh x = x 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 ... (|x|1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|1) 三、幾種無窮級數(shù)的解法 （一）利用級數(shù)和的定義求和 例 1：求級數(shù) 11 (2 1) , | | 1nn n q q? ?? ???的和。(a)/1!*(xa)+f39。 當(dāng) 0x =0 時(shí)，01 ()nnn a x x?? ?? 0 nn ax????稱為 x的冪級數(shù)。 as = 1 2 3 ... ...na u a u a u a u? ? ? ? ? （ 2） 、 收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加或相減，如有兩個(gè)無窮級數(shù)： s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?和 t = 1 2 3 ... nv v v v? ? ? ? 則 s+t= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?+ 1 2 3 ... nv v v v? ? ? ? （ 3 ）、 級 數(shù)前 面 加上 有 限項(xiàng) 或減 去 有限 項(xiàng) 不影 響其 收 斂性 ， 如 ：s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?和 s =1u 這兩個(gè)級數(shù)的收斂性是一樣的。在通常的論著和 教材中一般都講得很少，而且介紹分散，本文集中介紹了幾種求級數(shù)的方法。因此在生產(chǎn)與自然科學(xué)中大量地存在。算術(shù)的加法可以對有限個(gè)數(shù)求和，但無法對無限個(gè)數(shù)求和，有些數(shù)列可以用無窮級數(shù)方法求和。limits 3 一、引言 無窮級數(shù)是研究有次序的可數(shù)無窮個(gè)數(shù)或者函數(shù)的和的收斂性及和的數(shù)值的方法，理論以數(shù)項(xiàng)級數(shù)為基礎(chǔ)，數(shù)項(xiàng)級數(shù)有發(fā)散性和收斂性的區(qū)別。 關(guān)鍵詞： 無窮級數(shù)；求和；極限 中圖分類號 ： The summation methods of infinite series Yi Jiewen Abstract: Infinite series of higher mathematics is an important pon
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