無窮級(jí)數(shù)求和的方法-wenkub.com
2025-07-14 14:55 本頁面
【正文】 1984． [7]雷發(fā)社．高等數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)指導(dǎo) [M]．西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社 ． 20xx． [8]祝阿牛．無窮級(jí)數(shù)∑ kn總之，在級(jí)數(shù)求和過程中，要掌握多種求和的方法，而且要根據(jù)具體題確定哪種方法。 下面直接研究取得勝利的概率： 第一次勝利，其概率為213；第一次失敗，第二次勝利，其概率為2211(1 )34??； 第一次、 第 二次失敗，第三次勝利，其概率為2 2 21 1 1(1 ) (1 )3 4 5? ? ? ?； 第一次、 第二次、 、第 1n? 次失敗，第 n 次勝利，其概率為： 2 2 2 21 1 1 1(1 ) (1 ) [1 ]3 4 ( 1 ) ( 2)nn? ? ? ??? 這樣，全部實(shí)驗(yàn)取得勝利的概率是 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) [ 1 ) ]3 3 4 3 4 ( 1 ) ( 2)nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 但已知得到勝利的概率是 13 ，故有： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) [ 1 ) ]3 3 4 3 4 ( 1 ) ( 2) 3nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 2） （ 3） 總結(jié)規(guī)律 觀察一、二部分，將發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律，如果容器中有 4 個(gè)球， 1 個(gè)紅球和 3 個(gè)黑球，取球方法和取得勝利的條件不變，那么全部取得勝利的概率將表示為這樣一個(gè)無窮級(jí)數(shù)： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) [ 1 ) ]4 4 5 4 5 ( 2) ( 3 )nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 借助于計(jì)算試驗(yàn)失敗的概率，將得到 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) [ 1 ) ]4 4 5 4 5 ( 2) ( 3 ) 4nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 3） 于是，我們可以總結(jié)出如下規(guī)律：如果容器裝有 r個(gè)球， 1個(gè)紅球， r1 個(gè)黑球，取球方法和取得勝利的條件不 變，則可依據(jù)前述分析，得到全部取得勝利的概率是： 15 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) [ 1 ] [ 1 ) ]( 1 ) ( 1 ) ( 2) ( 1 )r r r r r r n r n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 同理同，借助于計(jì)算實(shí)驗(yàn)失敗的概率，得到這個(gè)無窮級(jí)數(shù)的和為，故有： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) [ 1 ] [ 1 ) ]( 1 ) ( 1 ) ( 2) ( 1 )r r r r r r n r n r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ 4） （ 4） 推廣規(guī)律 前述概率問題中，我們發(fā)現(xiàn) r 個(gè)球中，總是 1 個(gè)紅球，現(xiàn)在我們?cè)侔褑栴}修改一下，現(xiàn)有 a+b 個(gè)球，其中 a 個(gè)紅球， b 個(gè)黑球（ ab）。否則就算失敗，假如失敗，則在窗口里多放一個(gè)黑球，再繼續(xù)進(jìn)行抽取，若再次連續(xù)取出紅球，即算勝利。意味著 21{}nS ? 與收斂于 S ，從而1 nn aS?? ??。 解此微分方程得 220( ) 1)xxtS x e e dt??? 。 （八） 方程式法求和 例 1 求冪級(jí)數(shù) 2 3 4 5 6( ) 1 2 1 3 2 4 1 3 5 2 4 6x x x x xS x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?的和。 （六） 利用傅立葉級(jí)數(shù)求和法 例 1 求2 2 21 1 11 3 5 7? ? ? ?的和。 由于 3 3 6 9 30139。 解：此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 ?? ，在任意區(qū)間上可逐項(xiàng)積分。 注意到 2111 ( )2 ! !xne x x x xn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，有 11 1 111( 1 ) ! 2 ! 3 !n en?? ? ? ? ? ? ???， 21 1 111( 2 ) ! 2 ! 3 !n en?? ? ? ? ? ? ???， 8 因而， 21 2!nn en?? ??。 這是一種簡單、常用的方法，適用于一些簡單的級(jí)數(shù)求和問題。 5 解： 2 3 11 3 5 7 (2 1 ) nnS q q q n q ?? ? ? ? ? ? ? （ 1） 2 3 4 13 5 7 ( 2 3 ) ( 2 1 )nnnq S q q q q n q n q?? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） （ 1） （ 2）得： 2 3 1(1 ) 1 2 2 2 2 nnq S q q q q ?? ? ? ? ? ? ? 11( 2 1 ) 1 2 ( 2 1 )1nnnqn q q n qq??? ? ? ? ?? 12112 ( 2 1 )1 (1 ) 1nnn qqS q nq q q??? ? ? ?? ? ? 212lim 1 (1 )nn qS qq?? ???? 即級(jí)數(shù)和2121 (1 )qS qq???? 例 2 證明級(jí)數(shù)221 1 1a r c ta n a r c ta n a r c ta n2 2 2 2 n? ? ? ???收斂，并求其和。 （ 2）、 泰勒展開式 (冪級(jí)數(shù)展開法 ) f(x)=f(a)+f39。 二、無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)及常見的幾種級(jí)數(shù) （一）、 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì) （ 1）、 若有一個(gè)無窮級(jí)數(shù)： s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ? 如果每一項(xiàng)乘以一個(gè)常數(shù) a，則和等于 as。 包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（又包括冪級(jí)數(shù)、 Fourier 級(jí)數(shù)；復(fù)變函數(shù)中的泰勒級(jí)數(shù) 它是表示函數(shù)、研究數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。summation。因此在生產(chǎn)與自然科學(xué)中大量地存在。 無窮級(jí)數(shù)的求和方法。limits 3 一、引言 無窮級(jí)數(shù)是研究有次序的可數(shù)無窮個(gè)數(shù)或者函數(shù)的和的收斂性及和的數(shù)值的方法，理論以數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為基礎(chǔ)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有發(fā)散性和收斂性的區(qū)別。因此在生
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