【正文】 、圖表要求： 1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯別字，不準請他人代寫 2）工程設計類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計算機繪制，所有圖紙應符合國家技術標準規(guī)范。本人授權 大學可以將本學位論文的全部或部分內容編入有關數據庫進行檢索，可以采 用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本學位論文。 除了文中特別加以標注引用的內容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫的成果作品。盡我所知，除文中特別加以標注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機構的學位或學歷而使用過的材料。比如無窮級數收斂的必要條件并不能推廣成無窮積分收斂的必要條件。本文主要從三個方面入手，首先 詳細介紹了無窮積分與無窮級數的常用判別方法，并加以習題予以應用 。 反常積分與無窮級數收斂關系討論 [第 16 頁 共 22 頁 ] 由無窮級數的柯西判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法等判別法也可以推出無窮積分也具有柯西柯西判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法別法等判別法。由于 nn vu ??0 ，故)()(0 21 xfxf ?? ， ? ?1, ?? nn AAx （ 42） 因為定理 和級數 ???1n nu收斂，所以無窮積分 ???a dxxf )(1收斂； 同理，因為定理 和級數 ???1n nv收斂，所以無窮積分 ???a dxxf )(2收斂 ； 又由于級數 ???1n nv收斂，則必有 ???1n nu也收斂。 例 由無窮級數的比較判別法可以推出無窮積分也具有比較判別 法， 反之同理。 論文的主要結構 對反常積分和數項級數概念的定義、性質以及收斂判別法等方面列出了很多平行結論加以比較 ,對其中一些重要結論給出了證明 ,指出了它們之間可以相互轉化 .并根據這種轉化關系 ,利用一類問題的解法得到另一類問題的求解 .最后指出了它們之間存在的一些差別 . 第 1 章從選題背景及意義、問題提出、相關文獻綜述、論文結構這四個方面來闡述 ,說明了該論題研究現狀和成果 . 第 2 章 從 反常 積分 的收斂方法 ， 通常所講的反常積分和無窮級數在理論和研究方法上聯系 .而通過適當地換元 ,無窮積分和瑕積分又可以相互轉化 . 第 3章 簡單介紹無窮級數概念與各種收斂方法 . 黃岡師范學院本科生畢業(yè)論文 [第 3 頁 共 22 頁 ] 第 4章 探討了反常積分與無窮級數收斂關系，并對它們的判別法進行了對比研究 . 反常積分與無窮級數收斂關系討論 [第 4 頁 共 22 頁 ] 第 2 章 反常 積分 的收斂方法 通常所講的反常積分主要包含兩類：無窮區(qū)間上的反常積分 (或稱無窮積分 )和無界函數的反常積分 (或稱瑕積分 ).反常積分和無窮級數在理論和研究方法上幾乎是平行的 .而通過適當地換元 ,無窮積分和瑕積分又可以相互轉化 ,因此 ,只需要對其中一類反常積分進行討 論即可 ,以下主要以無窮積分為例 ,探析反常積分與無窮級數收斂性關系 . 非負函數無窮積分的收斂判別法 定理 [3]（比較判別法） 設定義在 ? ???,a 上的兩個非負函數 f 和 g 都在任何有限區(qū) ? ?ua, 上可積 ,且滿足 ( ) ( )f x g x? , ? ???? ,ax , 則當 ??dxxga???收斂時 ??dxxfa???必收斂 (或者 ,當 ? ?dxxfa???發(fā)散時??dxxga??? 必發(fā)散） . 推論 （比較 判別法 的極限形式） : 若 f 和 g 都在任何有限區(qū)間 ? ?ua, 上可積 ,當 ? ???? ,ax 時 , ,0)(,0)( ?? xgxf且 cxg xfx ???? )( )(lim,則有： (i)當 ????c0 時 , ? ?dxxfa???與 ? ?dxxga???同斂態(tài)； （ ii）當 0?c 時 ,有 ? ?dxxga???收斂可推知 ? ?dxxfa???也收斂； (iii)當 ???c 時 ,由 ? ?dxxga???發(fā)散可推知 ? ?dxxfa???也發(fā)散 . 黃岡師范學院本科生畢業(yè)論文 [第 5 頁 共 22 頁 ] 特別地 ,如果選用 ???1 pxdx作為比較對象 ,則我們有如下兩個推論（稱為柯西判別法） . 推論 （ Cauchy 判斂法） : 若 f 定義于 ? ???? ,ax ? ?0?a ,且在任何有限區(qū)間 ? ?ua, 上可積 ,則有： (i)當 ? ? 收斂時，且 ? ????????a )(1,1)(0 dxxfpaxxxf p； （ ii） ? ? .)(1,1)(a 發(fā)散時，且當 ???????? dxxfpaxxxf p 推論 （ Cauchy 判斂法的極限形式 ） : 若 f 是定義于 ? ???,a 上的非負函數 ,在任何有限區(qū)間 ? ?ua, 上可積 ,且 ????? )(lim xfx px,則有 （ i）當 ? ???????a )(0,1 收斂；時， dxxfp ? (ii)當 ????????a .)(0,1 發(fā)散時， dxxfp ? 例 討論下列無窮積分的收斂性 ????0 3 4 1xdx 解： 21a r c ta nlim32 ???????? x xxxx,所以由推論 3知 ????0 3 4 1xdx收斂 . 一般無窮積分的收斂判別法 這里來介紹兩個判別一般無窮積分收斂的判別法 反常積分與無窮級數收斂關系討論 [第 6 頁 共 22 頁 ] 定理 （狄利克雷判別法） 若 ?? ua dxxfuF )()(在區(qū)間上 ? ???,a 上有界 , )(xg 在 ? ???,a 上當 ???x 時單調趨于 0,則 ???a dxxgxf )()( 收斂 . 定理 （阿貝爾判別法） 若 ???a dxxf )(收斂 , )(xg 在 ? ???,a 上單調有界 , 則 ???a dxxgxf )()(收斂 . 例 討論下列無窮積分為絕對收斂還是條件收斂 . dxx x? ??1sin ??? ?????? ??????11 2121,s i n22s i ns i n,2,，而對任給從而有則解：令udtt tt d tt tdxx xt d tdxtx ? ? .1s i n.s i ns i n2.2,22c o s21s i ns i ns i n01,2c o s1c o ss i n111121u1是條件收斂的，在即發(fā)散發(fā)散，故所以發(fā)散這里收斂，又故由狄利克雷判別法知，單調趨于時，而當有???????????????????????????xxdxxxdttttdttttttttdtttxxut d t 例 討論積分 ???a pxdx (a0) 的收斂性（ p 為實數） 解：當 1p? 時 ,因 ?ba pxdx = ???? ab lnln （ ???b ） 所以 ???a dxx1發(fā)散． 黃岡師范學院本科生畢業(yè)論文 [第 7 頁 共 22 頁 ] 當 ?p 1時 ?ba pxdx = bapxp ?? 11 1 = )(1 1 11 pp abp ?? ?? =Ip(b) 因為 ???blimIp(b)=??????????? .1,11,1 ppapp 所以積分 ???a pxdx 當 p1 時收斂 ,值為11??pap；當 p1 時發(fā)散 例 討論積分 ????? ? dxe xa || (a0)的收斂性． 解：因 ???? ?0 || dxe xa ???blim( aea bax 1)10 ?? ? 同理 adxe xa 10 || ???? ? 所以 ????? ? dxe xa ||收斂 , 且 ????? ? dxe xa || ????? ?0 || dxe xa adxe xa 20 || ???? ? 本章小結 詳細介紹了無窮積分比較判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法 ,用不同的判別法來判斷例題的斂散性 . 反常積分與無窮級數收斂關系討論 [第 8 頁 共 22 頁 ] 第 3 章 無窮級數 的收斂方法 無窮級數 的概念 給定 一 個數列 }{nu ,對它的各項依次用“ +”號連接起來的表達式 ?? ????? nuuuu 321 （ 31） 稱為常數項無窮級數或數項級數（也常簡稱級數） ,其中 nu 稱為數項級數 )1( 的通項或一般項 .數項級數 )1( 也常寫作 ???1n nu或簡單寫作 ?nu .數項級數 )1( 的前 n 項之和 ,記為 nnk kn uuuuuS ?????? ?? ?3211 , （ 32） 稱它 為數項級數 )1( 的第 n 個部分和 ,也簡稱部分和 . 若數項級數 ???1n nu的部分