【正文】 ,b)+32*s1+12*s2+32*s3+14*s4)/90。 end s=h*(7*feval(39。 end for k=1:(n1) x=a+4*k*h/4。 end for k=1:n x=a+(4*k1)*h/4。 end for k=1:n 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 32 x=a+(4*k2)*h/4。 for k=1:n x=a+(4*k3)*h/4。 s1=0。f39。,b)+4*s1+2*s2)/3。 end s=h*(feval(39。 end for k=1:(n1) x=a+h*2*k。 for k=1:n x=a+h*(2*k1)。f39。 else y=sin(x)/x。,a)+feval(39。f39。 程序 二 ： function s=trapr1(f,a,b,n) % f 是被積函數(shù) ； % a,b 分別為積分的上下限 ； % n 是子區(qū)間的個數(shù) ； % s 是梯形總面積 ； h=(ba)/n。 end end 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 26 l=int(y,0,i)。 end y=1。 if ij==0 r=r。 s=1。 程序 一 ： function [C,g]=NCotes(a,b,n,m) % a， b 分別為積分的上下限； % n 是子區(qū)間的個數(shù)； % m是調(diào)用上面第幾個被積函數(shù)； % 當 n=1 時計算梯形公式；當 n=2 時計算辛浦生公式，以此類推； i=n。 if x==0 g(2)=1。它將數(shù)值計算、矩陣運算、圖形圖像處理、信號處理和仿真等諸多 強大 的功能集成在較易使用的交互計算機環(huán)境中， 為科學研究、工程應用提供了一種功能強、效率高的編程工具。 考慮積分 210 xI e dx???， 準確解為 ? 用復化兩點高斯 勒讓德公式可求得 I = ，其絕對誤差為R =，與復化梯形公式，復化 Simpson公式以及原兩點 GaussLegendre 公式相比， 這里 構(gòu)造的 復化兩點高斯 勒讓德求積公式 方法在運算量和精度方面都有顯著的 改善 。這個變換為線性變換，其反變換為 2 batxb a b a????? 于是成立 11( ) ( )2 2 2bab a b a a bf x d x f t d t?? ? ????? 然后，我們可以用 [1,1]? 區(qū)間上的高斯 勒讓德求積公式 。積分，可以計算得到 2 3 4 ( 2 2 )32 [ ( 1 ) ! ] ( ) ()[ ( 2 2 ) ! ] ( 2 3 )n nn n b aRfnn ?? ?????? () 第 四 節(jié) 高斯 勒讓德求積公式 常用的高斯 型 求積公式有高斯 勒讓德公式、高斯 切比雪夫 公式 、高斯 拉蓋爾公式、高斯 埃爾米特公式，下面著重介紹高斯 勒讓德公式 一 、 Legendre多項式 21( ) [ ( 1 ) ]2 2 ! n nn nndP x xdx??? ， 0,1,2,n? () 稱 式 () 為勒讓德（ Legendre）多項式，其具有前面提到的正交性 性質(zhì)，即對于任意次數(shù)不超過 n 的多項式 ()qx ，成立 1 11 ( ) ( ) 0nq x p x dx?? ?? 因此，多項式 1()npx? 的零點就是相應的高斯 勒讓德求積公式的高斯點 。設(shè) 01, , , nx x x 為高斯點，則對任意不超過次 21n? 的多項式 ()fx，均有0( ) ( )nbkka kf x dx A f x????，則對于任意次數(shù)不超過 n 次多項式 ()qx ，1( ) ( )nq x x? ? 是 次 數(shù)不 超過 21n? 的 多 項 式， 且注 意到 1( ) 0nkx?? ? ，( 0,1, , )kn? ，故 110( ) ( ) ( ) ( ) 0nbn k k n ka kq x x d x A q x x????????? 2）充分性。如果對求積節(jié)點 01,xx也進行適當?shù)倪x取，將有四個自由度，得到如下公式： 11 11( ) ( ) ( )33f x dx f f? ? ? ?? 這個積分公式的代數(shù)精確度為 3， 這就是高斯型求積公式， 上面的求積節(jié)點 13?稱為高斯點。但同時也限制了公式的精度。 重復上述過程可計算得到 1R ， 2R ， 4R ，一直算到龍貝格序列中前后兩項之差的絕對值不超過給定的誤差限為止。 利用龍貝格序列求積的算法稱為龍貝格算法。由龍貝格序列當然還可以繼續(xù)進行外推，得到新的求積序列。 直接根據(jù)復化求積公式，不難驗證 222 41 ()3 4 1NNN N N N TTS T T T ?? ? ? ? ? () 這說明，將區(qū)間對分前后兩次復化梯形公式的值，按式 () 作 線性組合恰好等于復化辛浦生公式的值 NS ，它比 2NT 更接近于近似值。如何提高收斂速度以節(jié)省計算量，這是人們極為關(guān)心的課題。計算過程中常用 2()NNTT ???是否滿足作為控制計算精度的條件。在實際計算中常常采用變步長的計算方法，即在步長逐次減半的過程中，反復利用復化 求積公式進行計算， 并同時查看相繼兩次計算結(jié)果的誤差是否達到要求， 直到所求得 的 積分值滿足要求為止。 三 、 復化科特斯求積公式 定義 將積分區(qū)間 [, ]ab 等分為 N 個子區(qū)間 4 4 4[ , ]kkxx? ，每個子區(qū)間的中點 42kx? ,( 0,1, , 1)kN??， 子區(qū)間長度 bah N?? ， 在 每個 子 區(qū)間 上用 科特斯 公式求和 ，得 ()ba f x dx? 4 3 4 211[ 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( )90NNkkkkh f a f x f x????? ? ? ??? 14 1 4113 2 ( ) 1 4 ( ) 7 ( ) ]NNkkkkf x f x f b????????NC? () 式 () 就稱為 復化科特斯求積公式，記為 NC ，式中， bah N?? ， 4k hx a k?? ( 0 ,1, 2 , , 2 1)kN?? 類似地可以推出 復化科特斯公式的截斷誤差為 ( ) 6 ( 6 )4 2 ( )( ) ( ) ( )9 4 5 4N b a hR f f ???? ( ( , ))ab?? () 第 三 節(jié) 本章小結(jié) 本章 節(jié) 開篇 介紹了數(shù)值求積公式的構(gòu)造， 主要是用運用插值多項式 。 定義 [5] 將積分區(qū)間 [,]ab 分成 2Nm? 等分，分點為 kx a kh?? ，( 0,1, , 1)kN?? bah N?? 在 每個小區(qū)間 2 2 2[ , ] ( 1 , 2 , , 1 )kkx x k N? ??上。記為 NT 當 N?? 時， 1011 [ ( ) ( ) ]2 NNN k kkkT f x h f x h???? ? ??? 1 [ ( ) ( ) ] ( )2 b b ba a af x d x f x d x f x d x??? ? ? 即 NT 收斂于 ()ba f x dx? 如果 (2)( ) [ , ]f x C a b? ， 則在小區(qū)間 1[ , ]kkxx? 上，梯形公式的截斷誤差為 1 31( ) [ ( ) ( ) ] ( )2 12kkx k k kxhhf x dx f x f x f ?? ? ??? ? ? ?? 1( , )k k kxx? ?? 因此 3 10( ) ( ) ( )12NbT N ka khR f f x d x T f ?????? ? ? ? ?? 因為 ()f ??? 區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù)，由介值定理知存在 [ , ]k ab? ? ，使得 101( ) ( )N kkffN?????? ??? ? 從而有 3 2()( ) ( ) ( ) ( )12 12bTNa h b aR f f x dx T Nf h f????? ??? ? ? ? ? ?? () 這就是復化梯形公式的 截斷誤差 。 以梯形面積近似曲邊梯 形面積，即用梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值。理論上已經(jīng)證明，當 n??時，牛頓 科特斯 公式所求得的近似值不一定收斂于積分的準確值，而且隨著 n的增大，牛頓 科特斯公式是不穩(wěn)定的。為此，設(shè) 1 , ( 0 , 1 , 2 )iix x h i n? ? ? ?，令 ? ?, 0 , ,x a th t n d x h d t? ? ? ?， 于是 101 0( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2) ( )bn nna x x x x x x dx h t t t t n hdt?? ? ? ? ? ? ??? 由于 n 為偶數(shù)，不妨設(shè) 2nk? ， k 為正整數(shù)，則 ? ?0,2tk? ，于是 200( 1 ) ( 2) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 )nkt t t t n hd t t t t k t k t k t k dt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???再引進變換 u t k?? ，則 t u k??， utdd? ， ? ?,u k k?? ， 代入上式右側(cè) ， 得出 0 ( 1 ) ( 2 ) ( )n t t t t n d t? ? ?? 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 9 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )k k u k u k u u u u k u k du?? ? ? ? ? ? ? ? ??2 2 2 2 2( 1 ) ( ( 1 ) ) ( )k k u u u k u k du?? ? ? ? ?? 最后的積分中被積函數(shù)是奇函數(shù)，所以積分結(jié)果等于零，定理 得證 。一個數(shù)值求積公式的代數(shù)精度越高，表示用它求數(shù)值積分時所需逼近被積函數(shù)的多項式次數(shù)越高。由于 辛浦生 求積公式是用二次多項式逼近被積函數(shù)推得的，原則上它的代數(shù)精度為 ，重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 7 根據(jù) 定理 ，它的 代數(shù)精度為 3 過 ( , ( ))a f a ， ( , ( ))22a b a bf??和 ( , ( ))b f b 3 個點，構(gòu)造一個 ()fx的三次Lagrange 插值多項式 3()Lx,且使3 ( ) ( )22a b a bLf??? ??。也就是說，只有當被積函數(shù)是一次多項式時，梯形求積公式才是準確的。我們知道牛頓 科特斯求積公式是一個插值型數(shù)值求積公式，當用插值多項式 ()nLx代替 ()fx進行積分時，其截斷誤差 ??Rf即積分真值 I 和近似值之差，推導如下 重慶郵電大學本科 畢業(yè)設(shè)計（論文） 5 ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b bnna a a aR f I f x dx f x dx L x dx f x L x dx? ? ? ? ? ?? ? ? ?， 由插值多項式的誤差估計可知 ，用 n 次拉格朗日多項式 ()nLx逼近函數(shù)時產(chǎn)生的誤差為 ( 1 )1()( ) ( ) ( )( 1 ) !nbnna ff x L x x d xn ? ????? ?? () 其中1 0( ) ( ) , ( , )niinx x x a b??? ??? ? ? ?。而且當 n 較大時，由于Runge 現(xiàn)象，收斂性也無法保證。為了便 于計算與應用，常將積分區(qū)間的等分點作為求積節(jié)點，這樣構(gòu)造出來的插值型求積公式就稱為 牛頓 科特斯（ NewtonCotes）求積公式。 一、 求積公式的推導 在積分區(qū)間 [, ]ab 上取有限個點 01 na x x x b? ? ? ? ?，作 ()fx的 n 次插值多項式0( ) ( ) ( )nn k kL x f x l x? ?，其中， ( )( 0,1, , )kl x k n? 為 次插值基函數(shù)。數(shù)值積分原則上可以用于計算各種被積函數(shù)的定積分，無論被積函數(shù)是解析解形式還是數(shù)表形式，其基本原理都是用多項式函數(shù)近似代替被積函數(shù)，用多項式的積分結(jié)果近似代替對被積函數(shù)的積分。 國內(nèi)外眾多學者在數(shù)值積分應用領(lǐng)域 也 提出了許多新方法。 微積分的發(fā)明是人類科學史上一項偉大的成就，在科學技術(shù)中，積分是經(jīng)常遇到的一個重要計算環(huán)節(jié)。 因此能夠借助牛頓 萊布尼茲公式計算定積分的 情形 是不多的。 除了 研究這些數(shù)值積分算法的理論 外，本文