無窮級數(shù)求和的方法-wenkub
2022-08-08 14:55:25 本頁面
【正文】 產(chǎn)與自然科學中大量地存在。 as = 1 2 3 ... ...na u a u a u a u? ? ? ? ? （ 2） 、 收斂級數(shù)可以逐項相加或相減，如有兩個無窮級數(shù)： s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?和 t = 1 2 3 ... nv v v v? ? ? ? 則 s+t= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?+ 1 2 3 ... nv v v v? ? ? ? （ 3 ）、 級 數(shù)前 面 加上 有 限項 或減 去 有限 項 不影 響其 收 斂性 ， 如 ：s= 1 2 3 ... ...nu u u u? ? ? ? ?和 s =1u 這兩個級數(shù)的收斂性是一樣的。(a)/1!*(xa)+f39。 證明 級數(shù)的部分和221 1 1a r c ta n a r c ta n a r c ta n2 2 2 2nS n? ? ? ???， 注意到公式 a r c ta n a r c ta n a r c ta n1?? ????? ???，有 22 22111 1 22 2 2a r c ta n a r c ta n a r c ta n a r c ta n112 2 2 312 2 2S? ?? ? ? ???? ?， 32 221 2 1 3a r c ta n a r c ta n a r c ta n a r c ta n2 3 3 2 3 4SS? ? ? ? ???， 用數(shù)學歸納法易證 a r c ta n ( 1 , 2 , )1n nSnn???， 因此， lim lim a r c ta n 14nnn nS n ?? ? ? ????， 從而21 1arctan 2n n?? ??收斂，和為 4? 。其基本思想是收斂求和級數(shù)1 nn a???的通項 na 分解為： 1n n na b b???，代入級數(shù)的部分和 nS ，相鄰兩項相消，則有 11nnS b b???，并且已知1lim nn bb??? ?，所以11 limnnnn a S b b???? ? ? ??。 這種方法的基本思想是：欲求的和1 nn u???令 nnnua?? ，若冪級數(shù) nnnu ax? 函數(shù)已知，設 () nnf x a x? ，則11 ()nnnnnu a f??????????。 222 2 10 0 0001 1 ( )( ) ( 2 1 )! ! !xx nn n xn n nxS t d t n t d t x x x en n n? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? 所以 2220( ) [ ( ) ] ( ) (1 2 )x xxS x S t d t x e x e? ? ? ?? 例 2 求 1 1 11 4 7 10? ? ? ?的和 。( ) ( 1 ) 1 1nnnf x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 所以 300 1( ) 39。 解：將函數(shù) ||x 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級數(shù)得： 224 c o s 3 c o s 5| | ( c o s ) , [ , ]2 3 5xxx x x? ???? ? ? ? ? ? ? 令 x ?? ，則 22 2 21 1 11 3 5 7 8?? ? ? ? ? 類似地，將 2()f x x? 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級數(shù)后，令 x ?? 可得： 221 1 6n n ??? ?? 令 0x? 可得： 1221 ( 1) 12nn n????? ?? 將 ()f x x? 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級數(shù)后， 令 2x ?? ，可得： 11( 1)2 1 4nn n????? ??? 在將某些函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)時，往往得到一些比較規(guī)范的三角級數(shù)展開式。 解：收斂半徑1111l im2 4 6 2 ( 2 2)l im12 4 6 2nn nnR annan?????? ? ? ??? ? ? ???（令 n 為偶數(shù)）， 同理可求 當 n 為奇數(shù)時，收斂半徑 R??? 。 11 思想 :設法證明級數(shù)的和滿足某個方程式，然后求此方程的解，即得級數(shù)的和。我們把 2{}nS 與 21{}nS ? 稱為互補子序列。假如失敗，則再多放 1 個黑球，這樣繼續(xù)進行，以致無窮，問取得勝利的概率如何？ 在各次不同的實驗中，取得勝利的概率依次是：2 2 21 1 1, , , ,23 n。取球方法和取得勝利的條件不變，則依據(jù)前述分析，得到全部取得勝利的概率是： 2 2 2 2 2 2 2( ) [ 1 ( ) ] ( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ) ] ( )1 1 2 1a a a a a a aa b a b a b a b a b a b n a b n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 5） 下面我們來求這個級數(shù)的和，在各次實驗中，取得勝利的概率依次是： 2 2 2( ) , ( ) , , ( ) ,11a a aa b a b a b n? ? ? ? ? ? 各次實驗失敗的概率依次是： 2 2 21 ( ) , 1 ( ) , , 1 ( ) ,11a a aa b a b a b n? ? ?? ? ? ? ? ? 這樣在所有各次實驗中都失敗的概率是： 2 2 2l im [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]11n a a aa b a b a b n?? ? ? ?? ? ? ? ? ? =22( 2 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 1 )l im ( ) ( 1 ) ( 1 )n b a b b a b b n a b na b a b a b n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 )l im ( ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nb b b a a b n a b n a b na b a b a b b n b n a b n??? ? ? ? ? ? ? ?
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鄂ICP備17016276號-1