無窮級數(shù)求和的方法-文庫吧資料
2025-07-29 14:55本頁面
【正文】 ???????????????? 所以 ?? ????? xx xxdxxdxxS020)1/()1l n (2/1)1/(1)( 所以 S(x)= )1/()1ln (2/1)]12/(1[012 xxxnnn ???????? (1x1) 因為 x=1/2 在收斂域內(nèi) 所以3ln2/1)]2/1(1/)2/1(1l n [)2/1()2/1) ] (12/(1[)2/1()2/1) ] (12/(1[)(02012???????? ?? ?????nnnn nnxS 所以 3ln)2/1) ] (12/(1[02 ?????nnn （十一） 利用概率求一類無窮級數(shù)的和 （ 1） 由一個概率問題的兩種解法所引起的思考 （ 2） 從 1 個裝有 1 個紅球和 1 個黑球的窗口里取兩次球，每次取 1個，取后放回，如果兩次連續(xù)取出紅球，就算勝利。我們把 2{}nS 與 21{}nS ? 稱為互補子序列。因此，對于級數(shù)1 nn a???，若通項 0na? （當 n?? 時），則部分和的子序列 2{}nS 收斂于 S 。 11 思想 :設(shè)法證明級數(shù)的和滿足某個方程式，然后求此方程的解，即得級數(shù)的和。( ) 1 ( )S x xS x?? ，且 (0) 1S ? 。 解：收斂半徑1111l im2 4 6 2 ( 2 2)l im12 4 6 2nn nnR annan?????? ? ? ??? ? ? ???（令 n 為偶數(shù)）， 同理可求 當 n 為奇數(shù)時，收斂半徑 R??? 。 10 （七） 利用歐拉常數(shù)法 例 1求11(2 1)nS nn??? ?? 解：111 1 2()( 2 1 ) 2 1nnnkkS k k k k??? ? ????? 11 1 1 12 ( )3 5 2 1nk kn?? ? ? ? ? ?? 11 1 1 1 2 1 1 12 ( 1 ) 2 ( 1 )2 3 2 2 1 2 4 2nk k n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2111 1 22 2 221nnkkk k n??? ? ? ???? 2 22 ( l n ) 2 ( l n 2 ) 221nnc n c n n??? ? ? ? ? ? ? ?? 2 22 2 l n 2 2 2 2 2 l n 2 ( )21nn nn??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 即 2 2ln2S?? 極限11lim( ln )nn k nk?? ? ??的值為所謂的歐拉常數(shù)，設(shè) 為 c （ ? ） 則有：11 lnn nk nck ?? ? ? ??，其中 lim 0nn ??? ?，利用上式，可求某些數(shù)值級數(shù)的和。 解：將函數(shù) ||x 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級數(shù)得： 224 c o s 3 c o s 5| | ( c o s ) , [ , ]2 3 5xxx x x? ???? ? ? ? ? ? ? 令 x ?? ，則 22 2 21 1 11 3 5 7 8?? ? ? ? ? 類似地，將 2()f x x? 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級數(shù)后，令 x ?? 可得： 221 1 6n n ??? ?? 令 0x? 可得： 1221 ( 1) 12nn n????? ?? 將 ()f x x? 在 [ , ]??? 上展成傅立葉級數(shù)后， 令 2x ?? ，可得： 11( 1)2 1 4nn n????? ??? 在將某些函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)時，往往得到一些比較規(guī)范的三角級數(shù)展開式。在函數(shù)項級數(shù)一致收斂的條件下，對其進行逐項微分或積分后求和，然后再反過來求一次積分或微分，便可得到原級數(shù)的和函數(shù)。( ) ( 1 ) 1 1nnnf x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 所以 300 1( ) 39。 再令 3101( ) ( 1 ) 31nnnf x xn? ???? ??，有 (0) 0f ? 此冪級數(shù)收斂域為 (1,1]? ，下面求 ()fx的表達式。 222 2 10 0 0001 1 ( )( ) ( 2 1 )! ! !xx nn n xn n nxS t d t n t d t x x x en n n? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? 所以 2220( ) [ ( ) ] ( ) (1 2 )x xxS x S t d t x e x e? ? ? ?? 例 2 求 1 1 11 4 7 10? ? ? ?的和 。 （五） 逐項微分與逐項積分法 例 1求 2021() ! nnnS x xn????? 的和。 這種方法的基本思想是：欲求的和1 nn u???令 nnnua?? ，若冪級數(shù) nnnu ax? 函數(shù)已知，設(shè) () nnf x a x? ，則11 ()nnnnnu a f??????????。 解： ? ? ? ?00( 2 1 ) 1 1( 1 ) ( 1 )2 1 ! 2 1 ! 2nnnnnn??????? ? ? ????? ? ? ? ?0 1 1 1( 1 ) [ ]2 2 ! 2 1 !nn nn??? ? ? ?? ? ? ? ?001 1 1 1( 1 ) ( 1 )2 2 ! 2 2 1 !nnnnnn????? ? ? ? ??? 注意到 3 5 2 11s i n ( 1 ) ( )3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnx x xx x xn??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 2 4 2c o s 1 ( 1 ) ( )2 ! 4 ! ( 2 ) !nnx x xxxn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 得 ? ?01( 1 ) ( c o s 1 s i n 1
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