[理學(xué)]第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)-文庫(kù)吧資料
2024-08-30 02:49本頁(yè)面
【正文】 域?yàn)?163。). 例3 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 因?yàn)? , 所以收斂半徑為R=0, 即級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 例4 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑: 冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為.因?yàn)?當(dāng)4|x|21即時(shí)級(jí)數(shù)收斂。, 從而收斂域?yàn)?165。, 則只當(dāng)x=0時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂, 故R=0. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域. 解 因?yàn)樗允諗堪霃綖? 當(dāng)x=1時(shí), 冪級(jí)數(shù)成為, 是收斂的。, 則只當(dāng)r|x|1時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂, 故. (2)如果r=0, 則冪級(jí)數(shù)總是收斂的, 故R=+165。, +165。R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級(jí)數(shù)的收斂域是(R, R)(或[R, R)、(R, R]、[R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級(jí)數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+165。 當(dāng)|x|R時(shí), 冪級(jí)數(shù)發(fā)散。0)時(shí)收斂, 則適合不等式|x||x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 反之, 如果級(jí)數(shù)∑anxn當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散, 則適合不等式|x||x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡(jiǎn)記形式. 證 先設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), 即級(jí)數(shù)收斂. 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個(gè)常數(shù)M, 使| anx0n |163。165。 11. 3 冪級(jí)數(shù) 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x)}, 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x)+ 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為.教 學(xué) 內(nèi) 容批注 收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn): 對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0, 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 則稱點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn). 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 收斂域與發(fā)散域: 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域, 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域. 和函數(shù): 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù), 并寫成這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域,部分和: 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x). 在收斂域上有或sn(x)174。un+1.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例9 證明級(jí)數(shù)收斂, 并估計(jì)和及余項(xiàng). 證 這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù). 因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足 (1)(n=1, 2, ), (2), 由萊布尼茨定理, 級(jí)數(shù)是收斂的, 且其和su1=1, 余項(xiàng)三、絕對(duì)收斂與條件收斂: 絕對(duì)收斂與條件收斂: 若級(jí)數(shù)收斂, 則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。165。), 所以sn174。s(n174。165。un+1. 簡(jiǎn)要證明: 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1u2)+(u3u4)+ +(u2n 1u2n), 及 s2n=u1(u2u3)+(u4u5)+ +(u2n2u2n1)u2n 看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2nu1), 所以收斂. 設(shè)s2n174。 (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和s163。 （3）當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 例6判定級(jí)數(shù)的收斂性. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注解 因?yàn)? , 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂. 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級(jí)數(shù): 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯(cuò)級(jí)數(shù), 但不是交錯(cuò)級(jí)數(shù). 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: (1)un179。 （3）當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 例6 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注例7 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 . 這時(shí)r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果 , 則（1）當(dāng)r1時(shí)級(jí)數(shù)收斂。 (2)當(dāng), 且級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 證明 （1）由極限的定義可知, 對(duì), 存在自然數(shù)N, 當(dāng)nN時(shí), 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論. （2）例3 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注例4 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)收斂. 定理4(比值
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