無(wú)窮級(jí)數(shù)練習(xí)題-文庫(kù)吧資料
2025-03-31 03:29本頁(yè)面
【正文】 上式右端當(dāng)時(shí)取值為1，于是 上式中令 1將函數(shù)展成以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，并由此求級(jí)數(shù)的和。【分析與求解】 關(guān)鍵是將展成冪級(jí)數(shù)，然后約去因子，再乘上并化簡(jiǎn)即可。 ，由 ，得 ①在冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)積分得 ②且收斂區(qū)間不變，當(dāng)時(shí)，②式右端級(jí)數(shù)均收斂，而左端在連續(xù)，在無(wú)定義，因此 將函數(shù) 展開成的冪級(jí)數(shù)。 記 要熟記五個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，與此級(jí)數(shù)和有關(guān)的是，即 于是 ， 因此 將函數(shù)展為的冪級(jí)數(shù)?！痉治雠c求解】先將級(jí)數(shù)分解： 第二個(gè)級(jí)數(shù)是幾何級(jí)數(shù)，它的和已知 求第一個(gè)級(jí)數(shù)的和轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)求和，考察 因此原級(jí)數(shù)的和 求級(jí)數(shù)的和。其次，在收斂區(qū)間內(nèi)對(duì)冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次，這里要求逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次： ， ， 于是 級(jí)數(shù)的線性性質(zhì) （收斂級(jí)數(shù)與它任意添加括號(hào)后的級(jí)數(shù)有相同的和）（2）因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的和函數(shù)滿足微分方程 ①又知 ②所以為求只須解二階線性常系數(shù)微分方程的初值問(wèn)題①+②該方程相應(yīng)的齊次方程的特征方程為 特征根為 相應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè)非齊次方程的一個(gè)特解為，代入方程①得 非齊次方程①的通解為 令，由初始條件② 因此 求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)【分析與求解】 這是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，令考察，其中 由 的收斂半徑為1原冪級(jí)數(shù)收斂半徑為1，收斂區(qū)間為。（1）驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程； （2）利用（1）的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和函
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