無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法-資料下載頁(yè)
2025-07-19 14:55本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】（四）利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式求和……………………進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。因此在生產(chǎn)與自然科學(xué)中大量地存在。無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和方。在通常的論著和教材中一般都講得很少，而且介紹分散，本文集中介紹了幾種求。法，理論以數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為基礎(chǔ)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有發(fā)散性和收斂性的區(qū)別。時(shí)有一個(gè)和；發(fā)散的無(wú)窮級(jí)數(shù)沒有和。算術(shù)的加法可以對(duì)有限個(gè)數(shù)求和，但無(wú)法對(duì)無(wú)。限個(gè)數(shù)求和，有些數(shù)列可以用無(wú)窮級(jí)數(shù)方法求和。包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（又包。如果每一項(xiàng)乘以一個(gè)常。數(shù)a，則和等于as。稱為的冪級(jí)數(shù)，其中na（n=0,1,2,…
【正文】 研究取得勝利的概率： 第一次勝利，其概率為213；第一次失敗，第二次勝利，其概率為2211(1 )34??； 第一次、 第 二次失敗，第三次勝利，其概率為2 2 21 1 1(1 ) (1 )3 4 5? ? ? ?； 第一次、 第二次、 、第 1n? 次失敗，第 n 次勝利，其概率為： 2 2 2 21 1 1 1(1 ) (1 ) [1 ]3 4 ( 1 ) ( 2)nn? ? ? ??? 這樣，全部實(shí)驗(yàn)取得勝利的概率是 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) [ 1 ) ]3 3 4 3 4 ( 1 ) ( 2)nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 但已知得到勝利的概率是 13 ，故有： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) [ 1 ) ]3 3 4 3 4 ( 1 ) ( 2) 3nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 2） （ 3） 總結(jié)規(guī)律 觀察一、二部分，將發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律，如果容器中有 4 個(gè)球， 1 個(gè)紅球和 3 個(gè)黑球，取球方法和取得勝利的條件不變，那么全部取得勝利的概率將表示為這樣一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) [ 1 ) ]4 4 5 4 5 ( 2) ( 3 )nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 借助于計(jì)算試驗(yàn)失敗的概率，將得到 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) [ 1 ) ]4 4 5 4 5 ( 2) ( 3 ) 4nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 3） 于是，我們可以總結(jié)出如下規(guī)律：如果容器裝有 r個(gè)球， 1個(gè)紅球， r1 個(gè)黑球，取球方法和取得勝利的條件不 變，則可依據(jù)前述分析，得到全部取得勝利的概率是： 15 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) [ 1 ] [ 1 ) ]( 1 ) ( 1 ) ( 2) ( 1 )r r r r r r n r n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 同理同，借助于計(jì)算實(shí)驗(yàn)失敗的概率，得到這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和為，故有： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) [ 1 ] [ 1 ) ]( 1 ) ( 1 ) ( 2) ( 1 )r r r r r r n r n r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ 4） （ 4） 推廣規(guī)律 前述概率問題中，我們發(fā)現(xiàn) r 個(gè)球中，總是 1 個(gè)紅球，現(xiàn)在我們?cè)侔褑栴}修改一下，現(xiàn)有 a+b 個(gè)球，其中 a 個(gè)紅球， b 個(gè)黑球（ ab）。取球方法和取得勝利的條件不變，則依據(jù)前述分析，得到全部取得勝利的概率是： 2 2 2 2 2 2 2( ) [ 1 ( ) ] ( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ) ] ( )1 1 2 1a a a a a a aa b a b a b a b a b a b n a b n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 5） 下面我們來(lái)求這個(gè)級(jí)數(shù)的和，在各次實(shí)驗(yàn)中，取得勝利的概率依次是： 2 2 2( ) , ( ) , , ( ) ,11a a aa b a b a b n? ? ? ? ? ? 各次實(shí)驗(yàn)失敗的概率依次是： 2 2 21 ( ) , 1 ( ) , , 1 ( ) ,11a a aa b a b a b n? ? ?? ? ? ? ? ? 這樣在所有各次實(shí)驗(yàn)中都失敗的概率是： 2 2 2l im [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]11n a a aa b a b a b n?? ? ? ?? ? ? ? ? ? =22( 2 ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 1 )l im ( ) ( 1 ) ( 1 )n b a b b a b b n a b na b a b a b n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 )l im ( ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nb b b a a b n a b n a b na b a b a b b n b n a b n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 于是得到全部取得勝利的概率為 ( 1 ) ( 1 )1 ( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 因此，（ 5）式的和為 16 ( 1 ) ( 1 )1 ( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 特別地當(dāng) a=1,b=3 時(shí)，易得（ 3）式；當(dāng) a=1,b=r1時(shí)，易得（ 4）式。 四、總結(jié) 以上若干例題，介紹了常用的幾種求法。此外，還有利用微分方程傅立葉級(jí)數(shù)，以及利用在復(fù)數(shù)域內(nèi)比較實(shí)部、虛部的方法去求級(jí)數(shù)的和，在這里就不一一列舉了?？傊诩?jí)數(shù)求和過(guò)程中，要掌握多種求和的方法，而且要根據(jù)具體題確定哪種方法。 參 考文獻(xiàn) ： [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系。高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)） [M].北京：高等教育出版社， 20xx [2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南 [M].北京：高等教育出版社， 20xx [3]裴禮文，數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 [M]北京：高等教育出版社， 20xx [4]趙樹原．微積分 [M]．北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社 ， 1988． [5]徐利治．?dāng)?shù)學(xué)分析的方法及例題選講 [M]．北京 ：人民教育出版社 。 1978． [6]陳傳璋．?dāng)?shù)學(xué)分析 [M]．北京：人民教育出版社。 1984． [7]雷發(fā)社．高等數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)指導(dǎo) [M]．西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社 ． 20xx． [8]祝阿牛．無(wú)窮級(jí)數(shù)∑ kn q 求和方法的探討 [J]．唐山學(xué)學(xué)報(bào) 。 20xx，
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