第七章無窮級(jí)數(shù)-資料下載頁(yè)
2024-08-10 12:46本頁(yè)面
【正文】 x?1? ?? ? ? ? ? ?()( ) , ,!!nnnf ernn??? ? ??????111 1 0 111() !!n er ? ? ? ??43 1 118 8 1 3 4 4 0 1 0.! ! !e ? ? ? ? ? ? ?1 1 11 1 2 7 1 8 22 3 7例 10 計(jì)算定積分 的近似 值，精確到小數(shù)點(diǎn)后第四位。 解 因?yàn)楸环e函數(shù) 不能用初等函數(shù)表示，所以我們采用它的冪級(jí)數(shù)展開式來求定積分的近似值。 .xe d x? ????????212021 0 56419??xe? 2!!x xxe d x x d x? ??? ? ? ? ???????211 462220022 123??!!!!xxd x x d x d x d x d x??? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ?1 1 1 1 14622 2 2 2 20 0 0 0 02 4 621232 1 1 1 112 2 3 2 5 2 2 7 3??括號(hào)內(nèi)的式子是滿足萊布尼茲準(zhǔn)則收斂條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由于 所以取前 4項(xiàng)作為近似值即可， !r?? ? ???44 811 102 9 4?!!xe d x? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ????2122 4 602 2 1 1 1 112 2 3 2 5 2 2 7 3??? ?. . . ..? ? ? ??0 56419 1 0 08333 0 00625 0 000370 5205例 11 計(jì)算定積分 的近似值，精確到小數(shù) 點(diǎn)后第四位。 解 因?yàn)? ，如果補(bǔ)充被積函數(shù)在 處的函數(shù)值為 1，則被積函數(shù)就是 上的連續(xù)函 數(shù)。但由于 的原函數(shù)是無法用初等函數(shù)來表 示的，所以采用它的冪級(jí)數(shù)展開式來求積分。 將被積函數(shù)展開為 對(duì)冪級(jí)數(shù)展開式逐項(xiàng)積分 sin x dxx?10s inlimxxx? ?0 1x ?0? ?,01sinxxs i n! ! !x x x xx ? ? ? ? ?2 4 61 3 5 7sin! ! !x dxx ? ? ? ? ?? ? ??101 1 113 3 5 5 7 7根據(jù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的誤差估計(jì) 因此，只 要取前三項(xiàng)作為積分的近似值便可，即 !r????431 1077s in . . .!!x dxx ? ? ? ? ? ? ????10111 1 0 0 5 5 5 0 0 0 1 6 7 0 9 4 6 13 3 5 5四、小結(jié) 。 。 . . . 思考題 什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開法？ 思考題解答 從已知的展開式出發(fā) , 通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法 ,求出給定函數(shù)展開式的方法稱之 . 練 習(xí) 題 。xa 11( ) l n ( ) 。xx?? a r c s in 。x311 .()xx??? ?3二 、 將 函 數(shù) 展 開 成 1 的 冪 級(jí) 數(shù) ，并 求 展 開 式 成 立 的 區(qū) 間 .()f x x x??? ?2 1三 、 將 函 數(shù) 展 開 成 4 的 冪 級(jí) 數(shù) .32()f x xxx????? ?1 2 1111四 、 將 級(jí) 數(shù) 的 和 函 數(shù) 展 開 成2 2 11 的 冪 級(jí) 數(shù) .()( ) !nnnnxnx??????????一 、將下列函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù) ,并求展開式成立 的區(qū)間 : 練 習(xí) 題 答 案 0一 、 ( l n ) ()!nnna xxn??? ? ? ? ? ??11112 、 111() ()()nnnx x xnn?????? ? ? ???2121223 、 112 1 2( ) ! ( ) ( )( ! ) ( )nnnxxxnn???? ? ? ???211 11( , )nnnx?????2203 2 3 1二 、 1 1 12 1 2 2 202( ) !( ) ( ) ( )( ! ) ( ) ( )()nnnnnxxn n nx????? ? ? ??????. 11011三 、 4 6 223( ) ( ) ( , )nnnnx????? ? ? ??2021011四 、 212 2 121112 2 12()s in ( )( ) !()c o s ( ) ( , )( ) !nnnnnnnnxnxn?????????? ? ?? ?????
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