第七章無窮級數-預覽頁
【正文】 e?1 1 01lim lim ,nnnnaan?? ? ? ????.R? ? ??? ?又 在 有 任 意 階 導 數 ，( ) ,xf x e? ? ? ? ?例 2 .s i n)( 的冪級數展開成將 xxxf ?解 () ( ) sin ( ) ,2n nf x x ??? () ( 0 ) sin ,2n nf ??( 2 ) ( 0 ) 0 ,nf??( 2 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ,nnf ? ?? ( 0 , 1 , 2 , )n ?213511s i n ( 1 )3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nn xx x x xn?? ? ? ? ? ? ? ??( , )x ? ?? ??213511 13 5 2 1s i n ( )! ! ( ) !nn xx x x xn?? ? ? ? ? ? ? ??顯 然 級 數 的 收 斂 半 徑 為 .R ? ??? ?又 在 有 任 意 階 導 數 ，( ) s i n ,f x x? ? ? ? ?例 3 將 1 展 開 成 的 冪 級 數( ) ( ) ( ) .f x x R x? ?? ? ?解 () ( ) ( ) ( ) ( ) ,nnf x n x ?? ? ? ? ?1 1 1 ?? ? ?() ( ) ( ) ( ) ,nfn? ? ? ?0 1 1? ? ?( 0 , 1 , 2 , )n ?( ) ( ) ( )!!nnx x xn? ? ? ?? ? ? ? ?21 1 112? ? ? ? ??1lim nnnaa???limnnn????? 1? 1,? 1,R??若內在 ,)1,1( ?( ) ( )()!nns x x xn? ? ?? ? ? ? ?111 ? ? ??( ) ( )( ) ( )( ) !nns x x xn?? ? ?? ? ? ? ? ? ??11111? ? ?? ? ?( ) ( )( ) ( )( ) !nnxs x x x xn? ? ?? ? ? ? ? ? ??2 1111? ? ?? ? ?( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ! ! !m m n m m n m m m nn n n? ? ? ? ? ? ? ????利 用( 1 ) ( )x s x???( ) ( ) ( )!!nnx x xn?? ? ? ?? ? ? ? ? ?22 2 11 1 12? ? ? ? ???()sx? ?() ,()sxs x x????1?( 0 ) 1 .s ?且兩邊積分 (),()xxsx dx dxs x x? ? ???00 1? ( 1 , 1 )x ??得 l n ( ) l n ( ) l n ( ) ,s x s x? ? ?01 ?即 ln ( ) ln ( ) ,s x x?? ?1( ) ( ) ,s x x? ? ? ?111( , )x ??211 1 112()( ) ( ) ( )!!nxnx x xn?? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?( 1 , 1 )x ??二項展開式 注意 : .x ?? ?在 1處 收 斂 性 與 的 取 值 有 關( , ) 。( , ]?? ? ? ?111111nnnnnnx x xnn????????????? ? ? ?11 11111nnnnnnxxnn????????????? ? ? ? ?1112111nnnnnnxxnn?????????????? ?21111n nnxx nn????? ? ? ? ???????? ?211()nnnxxnn???????方法二 11( ) l n ( )f x x? ? ? ?利用展開式， ? ? 1111 1 1( ) , ( , ]nnnf x x xn?????? ? ? ??從 0 到 積 分 ， 得x? ? 1110 1 11( ) ( ) , ( , ]()nnnf x f x x xnn????? ? ? ? ???? ?21即 111( ) , ( , ]()nnnf x x x xnn???? ? ? ???例 6 把 展 開 成 的 冪 級 數 。截的 誤( ) ( )nnr t P t A?1在 計 算 的 值 時 ， 還 有 因 四 舍 五 入 而 產 生 的計 算 。..A ??例 8 4求 18 的 近 似 值 ， 誤 差 不 超 過 10 。 若取前 n項的和作為 e的近似值，其誤差為 只要取 n=7，則 ，于是。 解 因為 ，如果補充被積函數在 處的函數值為 1，則被積函數就是 上的連續(xù)函 數。 . . . 思考題 什么叫冪級數的間接展開法？ 思考題解答 從已知的展開式出發(fā) , 通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項積分等辦法 ,求出給定函數展開式的方法稱之 . 練 習 題
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