第七章無窮級數(shù)(編輯修改稿)
2025-08-28 12:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 12()( ) ( ) ( )!!nxnx x xn?? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?( 1 , 1 )x ??二項(xiàng)展開式 注意 : .x ?? ?在 1處 收 斂 性 與 的 取 值 有 關(guān)( , ) 。? ? ?? 1 收 斂 區(qū) 間 為 11( , ] 。? ? ? ??11 收 斂 區(qū) 間 為 11[ , ] .??? 1 收 斂 區(qū) 間 為 11有時(shí)當(dāng) ,21,1 ????231 1 ( 1 ) ( 1 , 1 )1nnx x x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ??231 1 1 3 ( 2 3 ) ! !1 1 ( 1 )2 2 4 2 4 6 ( 2 ) ! ![ 1 , 1 ]nn nx x x x xn??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??231 1 1 3 1 3 5 ( 2 1 ) ! !1 ( 1 )2 2 4 2 4 6 ( 2 ) ! !1( 1 , 1 ]nn nx x x xnx? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???雙階乘 二、間接展開法 (泰勒級數(shù)法 ) 0直 接 按 公 式 計(jì) 算 冪 級 數(shù) 的 系 數(shù) ， 求 得初 等 函 數(shù) 的 冪 級 數(shù) 展 開 式 。() ()!nnfxan? 根據(jù)唯一性 , 利用常見展開式 , 通過 變量代換 , 四則運(yùn)算 , 恒等變形 , 逐項(xiàng)求導(dǎo) , 逐項(xiàng)積分 等方法 ,求展開式 . 例如 c o s ( s i n )xx ??22411c o s 1 ( 1 )2 ! 4 ! ( 2 ) !nn xx x xn? ? ? ? ? ? ? ?( , )x ? ?? ??213511s i n ( 1 )3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nn xx x x xn?? ? ? ? ? ? ??20a r c t a n 1x dxxx? ??213511 ( 1 )3 5 2 1nn xx x xn?? ? ? ? ? ? ??[ 1 , 1 ]x ??0ln ( 1 ) 1x dxx x?? ??2 3 111 ( 1 )23nn xx x xn?? ? ? ? ? ? ?( 1 , 1 ]x ??例 4 21將 展 開 成 的 冪 級 數(shù)6( ) .f x xxx? ??解 1 1 1 1 1 1 1 1 13 2 5 3 2 5 3 21132( ) ,( ) ( )fxxxx x x x????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ????011 33313, ( , )nnnxxx??? ? ??? 01122212, ( , )nnnxxx????? ? ? ???????? ?001101 1 1 1 15 3 3 2 2111225 3 2(), ( , )nnnnnnnnnnnf x x xxx??????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????? ???? ? ? ? ????????例 5 ? ? ? ?( ) l n .f x x x x? ? ?將 11 展 開 成 的 冪 級 數(shù)解 方法一 ? ? 1111( ) ( ) n nnf x x xn?????? ?利用展開式， ? ?容 易 求 得 右 端 級 數(shù) 的 收 斂 域 為 11 ，,?但 在 1 處 沒 有 意 義 ，()f x x ??故 展 開 式 的 成 立 區(qū) 間 為 11 。( , ]?? ? ? ?111111nnnnnnx x xnn????????????? ? ? ?11 11111nnnnnnxxnn????????????? ? ? ? ?1112111nnnnnnxxnn?????????????? ?21111n nnxx nn????? ? ? ? ???????? ?211()nnnxxnn???????方法二 11( ) l n ( )f x x? ? ? ?利用展開式， ? ? 1111 1 1( ) , ( , ]nnnf x x xn?????? ? ? ??從 0 到 積 分 ， 得x? ? 1110 1 11( ) ( ) , ( , ]()nnnf x f x x xnn????? ? ? ? ???? ?21即 111( ) , ( , ]()nnnf x x x xnn???? ? ? ???例 6 把 展 開 成 的 冪 級 數(shù) 。4( ) sinf x x x ???解 令 ，44,x t x t??? ? ? ?1則 ，44 2( ) ( ) s i n ( ) ( s i n c o s )f x f t t t t??? ? ? ? ? ?? ?2 1 200231 1 14 2 1 221 1 11232( ) ( )in( )( ) ! (
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