數(shù)列求和的基本方法和技巧-資料下載頁
2025-08-15 23:37本頁面
【正文】 ＝2 ? 1 － 2n?1 － 2－ n 2n ＋ 1，即 Tn＝ ( n － 1) 2n ＋ 1＋ 2. 2 ． ( 201 3 唐山統(tǒng)考 ) 在等比數(shù)列 { a n } 中， a 2 a 3 ＝ 32 ， a 5 ＝ 32. 解： ( 1) 設(shè)等比數(shù)列 { a n } 的公比為 q ，依題意得 ????? a 1 q a 1 q2＝ 32 ，a 1 q4＝ 32 ，解得 a 1 ＝ 2 ， q ＝ 2 ， 故 a n ＝ 2 2n － 1＝ 2n. ( 1) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式； ( 2) 設(shè)數(shù)列 { a n } 的前 n 項和為 S n ，求 S 1 ＋ 2 S 2 ＋ … ＋ nS n . (2) ∵ Sn表示數(shù)列 { an} 的前 n 項和， ∴ Sn＝2 ? 1 － 2n?1 － 2＝ 2( 2n－ 1) ， ∴ S1＋ 2 S2＋ … ＋ nSn＝ 2 [ (2 ＋ 2 22＋ … ＋ n 2n) － (1 ＋ 2 ＋ … ＋n )] ＝ 2( 2 ＋ 2 22＋ … ＋ n 2n) － n ( n ＋ 1) ， 設(shè) Tn＝ 2 ＋ 2 22＋ … ＋ n 2n， ① 則 2 Tn＝ 22＋ 2 23＋ … ＋ n 2n ＋ 1， ② ① － ② ，得 － Tn＝ 2 ＋ 22＋ … ＋ 2n－ n 2n ＋ 1＝2 ? 1 － 2n?1 － 2－ n 2n ＋ 1＝ (1 － n )2n＋ 1－ 2 ， ∴ Tn＝ ( n － 1) 2n ＋ 1＋ 2 ， ∴ S1＋ 2 S2＋ … ＋ nSn＝ 2 [( n － 1 ) 2n ＋ 1＋ 2] － n ( n ＋ 1) ＝ ( n － 1) 2n ＋ 2＋ 4 － n ( n ＋ 1) ． 3．已知二次函數(shù) f(x)＝ x2－ 5x＋ 10，當 x∈ (n， n＋ 1] (n∈ N*)時，把 f(x)在此區(qū)間內(nèi)的整數(shù)值的個數(shù)表示為 an. (1)求 a1和 a2的值； (2)求 n≥3時 an的表達式； ( 3 ) 令 b n ＝ 4an a n ＋ 1，求數(shù)列 { b n } 的前 n 項和 S n ( n ≥ 3) ． 解： ( 1) f ( x ) ＝ x2－ 5 x ＋ 10 ，又 x ∈ ( n ， n ＋ 1] ( n ∈ N*) 時，f ( x ) 的整數(shù)個數(shù)為 a n ，所以 f ( x ) 在 ( 1,2] 上的值域為 [ 4,6)? a 1 ＝ 2 ； f ( x ) 在 ( 2,3] 上的值域為??????154， 4 ? a 2 ＝ 1. (2)當 n≥3時， f(x)是增函數(shù)，故 an＝ f(n＋ 1)－ f(n)＝ 2n－ 4. ( 3) 由 ( 1) 和 ( 2) 可知， b1＝42 1＝ 2 ， b2＝41 2＝ 2. 而當 n ≥ 3時， bn＝4? 2 n － 4 ?? 2 n － 2 ?＝ 2????????12 n － 4－12 n － 2. 所以當 n ≥ 3 時， Sn＝ b1＋ b2＋ b3＋ b4＋ … ＋ bn ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2????????12－14＋14－16＋ … ＋12 n － 4－12 n － 2 ＝ 4 ＋ 2????????12－12 n － 2＝ 5 －1n － 1.
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