【正文】 質(zhì)、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分、或變量代換，將冪級(jí)數(shù)化為常用展開(kāi)式的情形之一，從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)；⑶對(duì)所得到的和函數(shù)做相反的分析運(yùn)算，便得原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．評(píng)注：①若冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理分式，一般可用逐項(xiàng)求導(dǎo)來(lái)求和函數(shù)；②若冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理整式，一般可用逐項(xiàng)積分來(lái)求和函數(shù)．[]求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) （1） （2）分析：冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理整式，故應(yīng)利用逐項(xiàng)積分來(lái)求和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理分式，應(yīng)利用逐項(xiàng)求導(dǎo)來(lái)求和函數(shù)．解：（1）由于收斂半徑當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)椋驗(yàn)? 令 ，則 于是 ， 從而，所以和函數(shù)為．（2），所以收斂半徑為當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋O(shè)，則，從而所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故=．[] 求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．解：收斂半徑為，所以收斂域?yàn)椋? 顯然 ，又 而 所以，故 ．[] 設(shè)有級(jí)數(shù)（Ⅰ）求此級(jí)數(shù)的收斂域（Ⅱ）證明此級(jí)數(shù)滿(mǎn)足微分方程（Ⅲ）求此級(jí)數(shù)的和函數(shù)解：（Ⅰ）因?yàn)?，故知?jí)數(shù)對(duì)任何都收斂，即其收斂域?yàn)椋á颍┰O(shè)，則，所以，（Ⅲ）容易求得上述方程的通解為由，可定出故級(jí)數(shù)的和函數(shù)為．[] 設(shè)冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿(mǎn)足 ，（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求的表達(dá)式．分析：用已知條件推證（Ⅰ）比較簡(jiǎn)單．對(duì)于的表達(dá)式想通過(guò)解方程得到非常困難，因?yàn)樗o方程超出我們所學(xué)范圍，不過(guò)可以通過(guò)（Ⅰ）把的具體表達(dá)式求出來(lái)，利用已知的常用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式把冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)寫(xiě)出來(lái)．證明：（Ⅰ） 由于，從而， 故 所以 ， ；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，于是由（Ⅰ）可得? 所以級(jí)數(shù)為，而，故，．五、用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的方法之一是利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．此方法是：①根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造冪級(jí)數(shù)（其中取等情形中的一種）；②求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則．評(píng)注：的構(gòu)造應(yīng)選取易求得和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)．[] 求下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和（1） （2） （3） 解：（1）令，則所以 ，因此．（2）令，則所以，因此．（3）令，則，所以，因此．[] 求級(jí)數(shù)的和．解：由于，令 ，則，所以，從而．六、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)主要用間接展開(kāi)法．Ⅰ 有理分式函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)有理分式函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的一般思路：①將有理分式函數(shù)分解成部分分式的和；②將各個(gè)部分分式用或 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式展開(kāi)；③利用冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)寫(xiě)出的展開(kāi)式．[] 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．解：由于，而； ，所以．[] 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．解：，而 ， ，所以．Ⅱ 三角型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 三角型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的一般思路：①利用三角公式將表示成與和、差的形式；②利用與的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式將與展開(kāi)；③利用冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)寫(xiě)出的展開(kāi)式．[] 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．解：，而 ，所以 ．Ⅲ 對(duì)數(shù)型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)對(duì)數(shù)型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，一般有以下幾種方法：法一：①利用乘積或商的對(duì)數(shù)性質(zhì)將對(duì)數(shù)函數(shù)拆開(kāi)（有時(shí)需因式分解）成與和、差形式；②利用的展開(kāi)式，將與展開(kāi)；③利用冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)寫(xiě)出的展開(kāi)式．法二：①將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)展開(kāi)；②利用逐項(xiàng)積分得到的展開(kāi)式．[] 將函數(shù)，在處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)．解：，而 ， 所以 ，．[] 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．解：，而 所以 ．Ⅳ 反三角型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 反三角型函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的一般思路：①將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)展開(kāi)；②利用逐項(xiàng)積分得到的展開(kāi)式．[] 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．解：，而 所以，又，故 ．Ⅴ 其它形式的函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)[] 設(shè)，試將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并求的和．解：由于，所以因此，當(dāng)或時(shí)，+ ，令，則所以 1+2，且=．[] 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．解：由于所以 由得：故 ．[] 將在展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)．解：依題意有 ，兩端求導(dǎo)得 ，設(shè)在展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，將其代入方程得 即 比較系數(shù)得，．由于，故，因此，于是在的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為．評(píng)注：冪級(jí)數(shù)與微分方程有密切的關(guān)系：本例是通過(guò)解方程來(lái)展開(kāi)冪級(jí)數(shù)，而[]是利用解方程來(lái)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．七、冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用[] 已知，計(jì)算分析：已知條件為某個(gè)已知和的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，但所求的積分卻十分困難，這就需要我們從另一個(gè)角度來(lái)考慮問(wèn)題．既然要用已知條件求出積分，那該積分能否表示成某一級(jí)數(shù)的形式呢？于是問(wèn)題的關(guān)鍵就是如何將被積函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．解：由于 ，所以 ．[] 設(shè)，求．分析：根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性，的麥克勞林級(jí)數(shù)就是在的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，所以，即．解：由于，所以，從而．[] 設(shè)，證明：時(shí)， 分析：證明恒等式最有力的方法是用拉格朗日中值定理的推論．證明：令，則 由拉格朗日中值定理推論可得： 又，從而．[] 求證．分析：等號(hào)左邊的級(jí)數(shù)固然可以求和函數(shù)，但是等號(hào)右邊的積分卻十分困難，這就需要我們從另一個(gè)角度來(lái)考慮問(wèn)題．既然證明積分的結(jié)果是一級(jí)數(shù)，那該級(jí)數(shù)能否看作是某一冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分的結(jié)果呢？于是問(wèn)題的關(guān)鍵就是如何將被積函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．解：當(dāng)時(shí)， 又因?yàn)?，所? 從而 ． 167。無(wú)窮級(jí)數(shù) 知識(shí)點(diǎn)總復(fù)習(xí)本章重點(diǎn)是判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，冪級(jí)數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)與求和． 167。 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本節(jié)重點(diǎn)是級(jí)數(shù)的性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的幾個(gè)判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂．● ?？贾R(shí)點(diǎn)精講一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義定義：設(shè)是一個(gè)數(shù)列，則稱(chēng)表達(dá)式 為一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)級(jí)數(shù)，其中第項(xiàng)稱(chēng)為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng)，稱(chēng)為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和．2．級(jí)數(shù)收斂的定義定義：若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，極限值稱(chēng)為此級(jí)數(shù)的和．當(dāng)不存在時(shí)，則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散． 利用級(jí)數(shù)收斂的定義，易知當(dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂，和為；當(dāng)，幾何級(jí)數(shù)發(fā)散．[] 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性⑴ ⑵解：⑴由于 所以 ，故級(jí)數(shù)收斂． ⑵ 由于所以，故級(jí)數(shù)發(fā)散．二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件1．設(shè)都收斂，和分別為，則必收斂，且；評(píng)注：若收斂，發(fā)散，則必發(fā)散；若都發(fā)散，則可能發(fā)散也可能收斂．2．設(shè)為非零常數(shù)，則級(jí)數(shù)與有相同的斂散性；3．改變級(jí)數(shù)的前有限項(xiàng)，不影響級(jí)數(shù)的斂散性；4．級(jí)數(shù)收斂的必要條件：如果收斂，則；5．收斂的級(jí)數(shù)在不改變各項(xiàng)次序前提下任意加括號(hào)得到的新級(jí)數(shù)仍然收斂且和不變．評(píng)注：若某級(jí)數(shù)添加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)亦發(fā)散．[] 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性⑴ ⑵ 解：⑴由于收斂，發(fā)散，所以 發(fā)散，由性質(zhì)5的“注”可知級(jí)數(shù)發(fā)散； ⑵ 由于，不滿(mǎn)足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，所以級(jí)數(shù)發(fā)散．三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法各項(xiàng)為非負(fù)（）的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)．1．正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理定理：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是數(shù)列有界．當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散．（時(shí)的級(jí)數(shù)也叫調(diào)和級(jí)數(shù)）2．正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法定理：（正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的非極限形式）設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并設(shè)，則⑴ 若收斂，則收斂；⑵ 若發(fā)散，則發(fā)散．定理：（正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式）設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并設(shè)或?yàn)?，則⑴ 當(dāng)為非零常數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)有相同的斂散性；⑵ 當(dāng)時(shí)，若收斂，則必有收斂；⑶ 當(dāng)時(shí)，若發(fā)散，則必有發(fā)散．評(píng)注：用比較判別法的比較對(duì)象常取級(jí)數(shù)與等比級(jí)數(shù)及．3．正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法定理：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若或?yàn)?，則級(jí)數(shù)有⑴ 當(dāng)時(shí)，收斂；⑵ 當(dāng)或時(shí)，發(fā)散；⑶ 當(dāng)時(shí)，斂散性不確定．評(píng)注：⑴ 若，則級(jí)數(shù)必發(fā)散；⑵ 如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)中含有階乘，一般用比值判別法判定