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無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總復(fù)習(xí)-文庫(kù)吧

2024-12-31 08:03 本頁(yè)面


【正文】 的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng);若縮小,則不等式左端應(yīng)是某發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng).解:(1)因?yàn)闀r(shí),所以 由于級(jí)數(shù)收斂,所以原級(jí)數(shù)收斂.(2)因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單減,所以 由于,又因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂,所以原級(jí)數(shù)收斂.三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)判定斂散判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的方法:法一:利用萊布尼茲定理;法二:判定通項(xiàng)取絕對(duì)值所成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;法三:將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng),若以此兩項(xiàng)分別作通項(xiàng)的級(jí)數(shù)都收斂則原級(jí)數(shù)收斂;若一收斂另一發(fā)散,則原級(jí)數(shù)發(fā)散;法四:將級(jí)數(shù)并項(xiàng),若并項(xiàng)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)發(fā)散.評(píng)注:法二、法三和法四適應(yīng)于不單調(diào)減少或判定單調(diào)很困難的交錯(cuò)級(jí)數(shù).[] 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性(1) (2)(3) (4)解:(1)該級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),顯然.令,則,所以單調(diào)減少.由萊布尼茲判別法可知,原級(jí)數(shù)收斂.(2)不難得到數(shù)列不單調(diào).而 ,顯然,級(jí)數(shù)發(fā)散;又級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),顯然滿(mǎn)足,令,則,所以單調(diào)減少,由萊布尼茲判別法可得,級(jí)數(shù)收斂. 故由級(jí)數(shù)斂散的性質(zhì)可得,原級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)不難得到不單調(diào),但有即加括號(hào)后得到的新級(jí)數(shù)發(fā)散,利用級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知,原級(jí)數(shù)發(fā)散.(4)顯然判定數(shù)列的單調(diào)性很麻煩. 但 ,而由比值判別法易得到級(jí)數(shù)收斂,所以級(jí)數(shù)收斂. 從而原級(jí)數(shù)收斂,且絕對(duì)收斂.四、判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù),主要研究它絕對(duì)收斂性和條件收斂性.解題的一般思路:①先看當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是否趨向于零,若不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;若趨于零,則②按正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法,判定是否收斂,若收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;若發(fā)散,則③若上述發(fā)散是由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法或根值判別法得到,則原級(jí)數(shù)發(fā)散;若是由比較判別法判定的,此時(shí)應(yīng)利用交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊布尼茲判別法或級(jí)數(shù)斂散的性質(zhì)判定是否收斂(若收斂則為條件收斂).[] 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂,指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂,說(shuō)明理由(1)為常數(shù); (2);(3).解:(1),由于當(dāng)充分大時(shí),保持定號(hào),所以級(jí)數(shù)從某項(xiàng)起以后為一交錯(cuò)級(jí)數(shù).當(dāng)不是整數(shù)時(shí),不論取何值,總有,故級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)是整數(shù)時(shí),有,因而,由于所以利用比較判別法的極限形式可得,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,又因?yàn)榭偸欠窃龅内呌诹?,故由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的“萊布尼茲判別法”知,級(jí)數(shù)收斂,且為條件收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)顯然收斂,且絕對(duì)收斂.(2)由于所以原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù). 先判定級(jí)數(shù)的斂散性由于當(dāng)時(shí),所以 由于級(jí)數(shù)發(fā)散,所以級(jí)數(shù)發(fā)散. 因?yàn)樵?jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且滿(mǎn)足萊布尼茲判別法的條件,因此級(jí)數(shù)為條件收斂. (3)這是任意項(xiàng)級(jí)數(shù).考慮每三項(xiàng)加一括號(hào)所成的級(jí)數(shù) 此級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是的有理式,且分子的次數(shù)僅比分母的次數(shù)低一次,用比較判別法知它是發(fā)散的,由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)可得,原級(jí)數(shù)發(fā)散.五、關(guān)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的證明題 證明某個(gè)未給出通項(xiàng)具體表達(dá)式的級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散這類(lèi)題,一般用級(jí)數(shù)收斂的定義、比較判別法或級(jí)數(shù)的基本性質(zhì).[] 證明:如果級(jí)數(shù)與收斂,且,則級(jí)數(shù)也收斂.證明:由可得,;由級(jí)數(shù)收斂的基本性質(zhì)可得收斂,故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可得收斂.又由于,所以級(jí)數(shù)收斂.[] 設(shè),證明(Ⅰ)存在 ; (Ⅱ)級(jí)數(shù)收斂.證明:(Ⅰ)由于,所以根據(jù)均值不等式可得故數(shù)列有下界. 又因?yàn)?,所以單調(diào)不增,從而由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知,存在.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,所以級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù).又因?yàn)? ,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和 所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的,由比較判別法知,原級(jí)數(shù)收斂.[] 設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),且,證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.分析:已知條件中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù),可考慮使用泰勒公式完成.證明:由于在點(diǎn)連續(xù),且,所以可得.將在點(diǎn)展開(kāi)成一階泰勒公式,有 .由于在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù),故存在,使得在的某小鄰域內(nèi),從而 (當(dāng)充分大時(shí))由比較判別法可知,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.[] 若滿(mǎn)足:⑴在區(qū)間上單增;⑵;⑶存在,且.證明(Ⅰ)收斂 ; (Ⅱ)收斂.證明:(Ⅰ)由于,所以,從而級(jí)數(shù)收斂.(Ⅱ)由于存在,且,所以函數(shù)單調(diào)不增.又因?yàn)樵趨^(qū)間上單增,所以必有,即級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù). 根據(jù)拉格朗日中值定理可得,所以 .由(Ⅰ)可知收斂,所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,級(jí)數(shù)收斂,再根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)可得級(jí)數(shù)收斂.六、其它[] 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少,且發(fā)散,判定級(jí)數(shù)的斂散性.解:正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少,由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得,存在,記為(). 因?yàn)榧?jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),若,由萊布尼茲判別法可知,該級(jí)數(shù)收斂.但題設(shè)該級(jí)數(shù)發(fā)散,所以必定有,于是 .由根值判別法知,級(jí)數(shù)收斂.[] 討論級(jí)數(shù)在哪些處收斂?在哪些處發(fā)散?解:⑴ 當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,這是交錯(cuò)級(jí)數(shù),且滿(mǎn)足“萊布尼茲判別法”的條件,故收斂;⑵ 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),趨向定常數(shù),故發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散; ⑶ 當(dāng)時(shí),由于,所以上式中第一項(xiàng)以后的各項(xiàng)都為負(fù)的.考察級(jí)數(shù),由于,所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的“比較判別法”的極限形式知,級(jí)數(shù)發(fā)散.從而,即原級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上所述,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.[] 已知,判定級(jí)數(shù)的斂散性.分析:該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)以遞推公式給出,這給級(jí)數(shù)類(lèi)型的判定以及通項(xiàng)是否收斂于零帶來(lái)困難.不妨先假設(shè)級(jí)數(shù)通項(xiàng),再看由遞推公式兩端取極限時(shí)能否導(dǎo)出矛盾.一旦產(chǎn)生矛盾,便可確定級(jí)數(shù)發(fā)散.解:若,則.這與假設(shè)矛盾.因此,原級(jí)數(shù)發(fā)散.[] 設(shè)為常數(shù),討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:由于存在,因此想到分討論.當(dāng)時(shí),由于,所以,級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),=,所以,級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),由于,所以級(jí)數(shù)收斂,故級(jí)數(shù)收斂且絕對(duì)收斂.[] 已知,對(duì)于,設(shè)曲線上點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是(Ⅰ)求;(Ⅱ)設(shè)是以,和為頂點(diǎn)的三角形的面積,求級(jí)數(shù)的和解:(Ⅰ)曲線上點(diǎn)處的切線方程為 從而,從而(Ⅱ)由題意所以. 167。 冪級(jí)數(shù)本節(jié)重點(diǎn)是求冪級(jí)數(shù)的收斂域、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).● ??贾R(shí)點(diǎn)精講一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義定義:設(shè)函數(shù)都在上有定義,則稱(chēng)表達(dá)式 為定義在上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),稱(chēng)為通項(xiàng),稱(chēng)為部分和函數(shù).2.收斂域定義:設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則稱(chēng)是的一個(gè)收斂點(diǎn).所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為級(jí)數(shù)的收斂域.3.和函數(shù) 定義:設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋瑒t任給,存在唯一的實(shí)數(shù),使得成立.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和函數(shù).評(píng)注:求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域時(shí),主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法.二、冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)的定義定義:設(shè)是一實(shí)數(shù)列,則稱(chēng)形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為處的冪級(jí)數(shù).時(shí)的冪級(jí)數(shù)為.2.阿貝爾定理定理:對(duì)冪級(jí)數(shù)有如下的結(jié)論:⑴ 如果該冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂,則對(duì)滿(mǎn)足的一切的對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂;⑵ 如果該冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散,則對(duì)滿(mǎn)足的一切的對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都發(fā)散.[] 若冪級(jí)數(shù)在處收斂,問(wèn)此級(jí)數(shù)在處是否收斂,若收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?解:由阿貝爾定理知,冪級(jí)數(shù)在處收斂,則對(duì)一切適合不等式(即)的該級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.故所給級(jí)數(shù)在處收斂且絕對(duì)收斂.三、冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間如果冪級(jí)數(shù)不是僅在處收斂,也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂,則必定存在一個(gè)正數(shù),它具有下述性質(zhì):⑴ 當(dāng)時(shí),絕對(duì)收斂;⑵ 當(dāng)時(shí),發(fā)散.如果冪級(jí)數(shù)僅在處收斂,定義;如果冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂,則定義.則稱(chēng)上述為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.稱(chēng)開(kāi)區(qū)間為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.四、冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑法一:⑴ 求極限⑵ 令則收斂半徑為;法二:若滿(mǎn)足,則;法三;⑴ 求極限⑵ 令則收斂半徑為.[] 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域⑴ ⑵ ⑶解:⑴ 收斂半徑,所以收斂域?yàn)椋? ⑵ 收斂半徑當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為這是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù),當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為這是發(fā)散的級(jí)數(shù),于是該冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)椋? ⑶ 由于令,可得,所以收斂半徑為當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)為,此級(jí)數(shù)發(fā)散,于是原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?、冪?jí)數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù)收斂半徑為;收斂半徑為,則1.,收斂半徑;2.,收斂半徑;3.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù);4.冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),且求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為.即有 .5.冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,且積分后所得到的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為.即有 [] 用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求下列冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù) ⑴ ⑵解:⑴ 令,則 所以; ⑵ 令,則 所
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