【正文】 的正項級數(shù)的通項；若縮小，則不等式左端應是某發(fā)散的正項級數(shù)的通項．解：（1）因為時，所以 由于級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂．（2）因為函數(shù)在區(qū)間上單減，所以 由于，又因為級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂．三、交錯級數(shù)判定斂散判別交錯級數(shù)斂散性的方法：法一：利用萊布尼茲定理；法二：判定通項取絕對值所成的正項級數(shù)的斂散性，若收斂則原級數(shù)絕對收斂；法三：將通項拆成兩項，若以此兩項分別作通項的級數(shù)都收斂則原級數(shù)收斂；若一收斂另一發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散；法四：將級數(shù)并項，若并項后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散．評注：法二、法三和法四適應于不單調減少或判定單調很困難的交錯級數(shù)．[] 判定下列級數(shù)的斂散性（1） （2）（3） （4）解：（1）該級數(shù)是交錯級數(shù)，顯然．令，則，所以單調減少．由萊布尼茲判別法可知，原級數(shù)收斂．（2）不難得到數(shù)列不單調．而 ，顯然，級數(shù)發(fā)散；又級數(shù)是交錯級數(shù)，顯然滿足，令，則，所以單調減少，由萊布尼茲判別法可得，級數(shù)收斂． 故由級數(shù)斂散的性質可得，原級數(shù)發(fā)散．（3）不難得到不單調，但有即加括號后得到的新級數(shù)發(fā)散，利用級數(shù)的性質可知，原級數(shù)發(fā)散．（4）顯然判定數(shù)列的單調性很麻煩． 但 ，而由比值判別法易得到級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂． 從而原級數(shù)收斂，且絕對收斂．四、判定任意項級數(shù)的斂散性 對任意項級數(shù)，主要研究它絕對收斂性和條件收斂性．解題的一般思路：①先看當時，級數(shù)的通項是否趨向于零，若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則②按正項級數(shù)斂散性的判別法，判定是否收斂，若收斂，則級數(shù)絕對收斂；若發(fā)散，則③若上述發(fā)散是由正項級數(shù)的比值判別法或根值判別法得到，則原級數(shù)發(fā)散；若是由比較判別法判定的，此時應利用交錯級數(shù)萊布尼茲判別法或級數(shù)斂散的性質判定是否收斂（若收斂則為條件收斂）．[] 討論下列級數(shù)的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對收斂，說明理由（1）為常數(shù)； （2）；（3）．解：（1），由于當充分大時，保持定號，所以級數(shù)從某項起以后為一交錯級數(shù)．當不是整數(shù)時，不論取何值，總有，故級數(shù)發(fā)散；當是整數(shù)時，有，因而，由于所以利用比較判別法的極限形式可得，當時級數(shù)發(fā)散，又因為總是非增的趨于零，故由交錯級數(shù)的“萊布尼茲判別法”知，級數(shù)收斂，且為條件收斂；當時，級數(shù)顯然收斂，且絕對收斂．（2）由于所以原級數(shù)為交錯級數(shù)． 先判定級數(shù)的斂散性由于當時，所以 由于級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散． 因為原級數(shù)為交錯級數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的條件，因此級數(shù)為條件收斂． （3）這是任意項級數(shù)．考慮每三項加一括號所成的級數(shù) 此級數(shù)的通項是的有理式，且分子的次數(shù)僅比分母的次數(shù)低一次，用比較判別法知它是發(fā)散的，由級數(shù)的基本性質可得，原級數(shù)發(fā)散．五、關于數(shù)項級數(shù)斂散性的證明題 證明某個未給出通項具體表達式的級數(shù)收斂或發(fā)散這類題，一般用級數(shù)收斂的定義、比較判別法或級數(shù)的基本性質．[] 證明：如果級數(shù)與收斂，且，則級數(shù)也收斂．證明：由可得，；由級數(shù)收斂的基本性質可得收斂，故由正項級數(shù)的比較判別法可得收斂．又由于，所以級數(shù)收斂．[] 設，證明（Ⅰ）存在 ； （Ⅱ）級數(shù)收斂．證明：（Ⅰ）由于，所以根據均值不等式可得故數(shù)列有下界． 又因為，所以單調不增，從而由單調有界準則可知，存在．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以級數(shù)是正項級數(shù)．又因為 ，而正項級數(shù)的前項和 所以正項級數(shù)是收斂的，由比較判別法知，原級數(shù)收斂．[] 設在點的某一鄰域內有連續(xù)二階導數(shù)，且，證明級數(shù)絕對收斂．分析：已知條件中出現(xiàn)高階導數(shù)，可考慮使用泰勒公式完成．證明：由于在點連續(xù)，且，所以可得．將在點展開成一階泰勒公式，有 ．由于在點的某一鄰域內連續(xù)，故存在，使得在的某小鄰域內，從而 （當充分大時）由比較判別法可知，級數(shù)絕對收斂．[] 若滿足：⑴在區(qū)間上單增；⑵；⑶存在，且．證明（Ⅰ）收斂 ； （Ⅱ）收斂．證明：（Ⅰ）由于，所以，從而級數(shù)收斂．（Ⅱ）由于存在，且，所以函數(shù)單調不增．又因為在區(qū)間上單增，所以必有，即級數(shù)是正項級數(shù)． 根據拉格朗日中值定理可得，所以 ．由（Ⅰ）可知收斂，所以根據正項級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)收斂，再根據級數(shù)收斂的性質可得級數(shù)收斂．六、其它[] 設正項數(shù)列單調減少，且發(fā)散，判定級數(shù)的斂散性．解：正項數(shù)列單調減少，由單調有界準則可得，存在，記為（）． 因為級數(shù)是交錯級數(shù)，若，由萊布尼茲判別法可知，該級數(shù)收斂．但題設該級數(shù)發(fā)散，所以必定有，于是 ．由根值判別法知，級數(shù)收斂．[] 討論級數(shù)在哪些處收斂？在哪些處發(fā)散？解：⑴ 當時，原級數(shù)為，這是交錯級數(shù)，且滿足“萊布尼茲判別法”的條件，故收斂；⑵ 當時，當時， 當時，趨向定常數(shù)，故發(fā)散，從而原級數(shù)發(fā)散； ⑶ 當時，由于，所以上式中第一項以后的各項都為負的．考察級數(shù)，由于，所以根據正項級數(shù)的“比較判別法”的極限形式知，級數(shù)發(fā)散．從而，即原級數(shù)發(fā)散．綜上所述，當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散．[] 已知，判定級數(shù)的斂散性．分析：該級數(shù)的通項以遞推公式給出，這給級數(shù)類型的判定以及通項是否收斂于零帶來困難．不妨先假設級數(shù)通項，再看由遞推公式兩端取極限時能否導出矛盾．一旦產生矛盾，便可確定級數(shù)發(fā)散．解：若，則．這與假設矛盾．因此，原級數(shù)發(fā)散．[] 設為常數(shù)，討論級數(shù)的斂散性．解：由于存在，因此想到分討論．當時，由于，所以，級數(shù)發(fā)散；當時，=，所以，級數(shù)發(fā)散；當時，由于，所以級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂且絕對收斂．[] 已知，對于，設曲線上點處的切線與軸交點的橫坐標是（Ⅰ）求；（Ⅱ）設是以，和為頂點的三角形的面積，求級數(shù)的和解：（Ⅰ）曲線上點處的切線方程為 從而，從而（Ⅱ）由題意所以． 167。 冪級數(shù)本節(jié)重點是求冪級數(shù)的收斂域、求冪級數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展開成冪級數(shù)．● 常考知識點精講一、函數(shù)項級數(shù)的概念1．函數(shù)項級數(shù)的定義定義：設函數(shù)都在上有定義，則稱表達式 為定義在上的一個函數(shù)項級數(shù)，稱為通項，稱為部分和函數(shù)．2．收斂域定義：設是定義在上的一個函數(shù)項級數(shù)，若數(shù)項級數(shù)收斂，則稱是的一個收斂點．所有收斂點構成的集合稱為級數(shù)的收斂域．3．和函數(shù) 定義：設函數(shù)項級數(shù)的收斂域為，則任給，存在唯一的實數(shù)，使得成立．定義域為的函數(shù)稱為級數(shù)的和函數(shù)．評注：求函數(shù)項級數(shù)收斂域時，主要利用收斂域的定義及有關的數(shù)項級數(shù)的判別法．二、冪級數(shù)1．冪級數(shù)的定義定義：設是一實數(shù)列，則稱形如的函數(shù)項級數(shù)為處的冪級數(shù)．時的冪級數(shù)為．2．阿貝爾定理定理：對冪級數(shù)有如下的結論：⑴ 如果該冪級數(shù)在點收斂，則對滿足的一切的對應的級數(shù)都絕對收斂；⑵ 如果該冪級數(shù)在點發(fā)散，則對滿足的一切的對應的級數(shù)都發(fā)散．[] 若冪級數(shù)在處收斂，問此級數(shù)在處是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？解：由阿貝爾定理知，冪級數(shù)在處收斂，則對一切適合不等式（即）的該級數(shù)都絕對收斂．故所給級數(shù)在處收斂且絕對收斂．三、冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間如果冪級數(shù)不是僅在處收斂，也不是在整個數(shù)軸上收斂，則必定存在一個正數(shù)，它具有下述性質：⑴ 當時，絕對收斂；⑵ 當時，發(fā)散．如果冪級數(shù)僅在處收斂，定義；如果冪級數(shù)在內收斂，則定義．則稱上述為冪級數(shù)的收斂半徑．稱開區(qū)間為冪級數(shù)的收斂區(qū)間．四、冪級數(shù)收斂半徑的求法求冪級數(shù)的收斂半徑法一：⑴ 求極限⑵ 令則收斂半徑為；法二：若滿足，則；法三；⑴ 求極限⑵ 令則收斂半徑為．[] 求下列冪級數(shù)的收斂域⑴ ⑵ ⑶解：⑴ 收斂半徑，所以收斂域為； ⑵ 收斂半徑當時，對應級數(shù)為這是收斂的交錯級數(shù)，當時，對應級數(shù)為這是發(fā)散的級數(shù)，于是該冪級數(shù)收斂域為； ⑶ 由于令，可得，所以收斂半徑為當時，對應的級數(shù)為，此級數(shù)發(fā)散，于是原冪級數(shù)的收斂域為．五、冪級數(shù)的性質設冪級數(shù)收斂半徑為；收斂半徑為，則1．，收斂半徑；2．，收斂半徑；3．冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)；4．冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內可以逐項求導，且求導后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為．即有 ．5．冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內可以逐項積分，且積分后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為．即有 [] 用逐項求導或逐項積分求下列冪級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù) ⑴ ⑵解：⑴ 令，則 所以； ⑵ 令，則 所