【正文】 的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)；若縮小，則不等式左端應(yīng)是某發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)．解：（1）因?yàn)闀r(shí)，所以 由于級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂．（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單減，所以 由于，又因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂．三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)判定斂散判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的方法：法一：利用萊布尼茲定理；法二：判定通項(xiàng)取絕對(duì)值所成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；法三：將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)，若以此兩項(xiàng)分別作通項(xiàng)的級(jí)數(shù)都收斂則原級(jí)數(shù)收斂；若一收斂另一發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散；法四：將級(jí)數(shù)并項(xiàng)，若并項(xiàng)后的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散．評(píng)注：法二、法三和法四適應(yīng)于不單調(diào)減少或判定單調(diào)很困難的交錯(cuò)級(jí)數(shù)．[] 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性（1） （2）（3） （4）解：（1）該級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，顯然．令，則，所以單調(diào)減少．由萊布尼茲判別法可知，原級(jí)數(shù)收斂．（2）不難得到數(shù)列不單調(diào)．而 ，顯然，級(jí)數(shù)發(fā)散；又級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，顯然滿(mǎn)足，令，則，所以單調(diào)減少，由萊布尼茲判別法可得，級(jí)數(shù)收斂． 故由級(jí)數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級(jí)數(shù)發(fā)散．（3）不難得到不單調(diào)，但有即加括號(hào)后得到的新級(jí)數(shù)發(fā)散，利用級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知，原級(jí)數(shù)發(fā)散．（4）顯然判定數(shù)列的單調(diào)性很麻煩． 但 ，而由比值判別法易得到級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)收斂． 從而原級(jí)數(shù)收斂，且絕對(duì)收斂．四、判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，主要研究它絕對(duì)收斂性和條件收斂性．解題的一般思路：①先看當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是否趨向于零，若不趨于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若趨于零，則②按正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法，判定是否收斂，若收斂，則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若發(fā)散，則③若上述發(fā)散是由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法或根值判別法得到，則原級(jí)數(shù)發(fā)散；若是由比較判別法判定的，此時(shí)應(yīng)利用交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊布尼茲判別法或級(jí)數(shù)斂散的性質(zhì)判定是否收斂（若收斂則為條件收斂）．[] 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂，說(shuō)明理由（1）為常數(shù)； （2）；（3）．解：（1），由于當(dāng)充分大時(shí)，保持定號(hào)，所以級(jí)數(shù)從某項(xiàng)起以后為一交錯(cuò)級(jí)數(shù)．當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，不論取何值，總有，故級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)是整數(shù)時(shí)，有，因而，由于所以利用比較判別法的極限形式可得，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，又因?yàn)榭偸欠窃龅内呌诹?，故由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的“萊布尼茲判別法”知，級(jí)數(shù)收斂，且為條件收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)顯然收斂，且絕對(duì)收斂．（2）由于所以原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)． 先判定級(jí)數(shù)的斂散性由于當(dāng)時(shí)，所以 由于級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散． 因?yàn)樵?jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿(mǎn)足萊布尼茲判別法的條件，因此級(jí)數(shù)為條件收斂． （3）這是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)．考慮每三項(xiàng)加一括號(hào)所成的級(jí)數(shù) 此級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是的有理式，且分子的次數(shù)僅比分母的次數(shù)低一次，用比較判別法知它是發(fā)散的，由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)可得，原級(jí)數(shù)發(fā)散．五、關(guān)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的證明題 證明某個(gè)未給出通項(xiàng)具體表達(dá)式的級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散這類(lèi)題，一般用級(jí)數(shù)收斂的定義、比較判別法或級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)．[] 證明：如果級(jí)數(shù)與收斂，且，則級(jí)數(shù)也收斂．證明：由可得，；由級(jí)數(shù)收斂的基本性質(zhì)可得收斂，故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可得收斂．又由于，所以級(jí)數(shù)收斂．[] 設(shè)，證明（Ⅰ）存在 ； （Ⅱ）級(jí)數(shù)收斂．證明：（Ⅰ）由于，所以根據(jù)均值不等式可得故數(shù)列有下界． 又因?yàn)?，所以單調(diào)不增，從而由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知，存在．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)．又因?yàn)? ，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和 所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的，由比較判別法知，原級(jí)數(shù)收斂．[] 設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．分析：已知條件中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)，可考慮使用泰勒公式完成．證明：由于在點(diǎn)連續(xù)，且，所以可得．將在點(diǎn)展開(kāi)成一階泰勒公式，有 ．由于在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，故存在，使得在的某小鄰域內(nèi)，從而 （當(dāng)充分大時(shí)）由比較判別法可知，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．[] 若滿(mǎn)足：⑴在區(qū)間上單增；⑵；⑶存在，且．證明（Ⅰ）收斂 ； （Ⅱ）收斂．證明：（Ⅰ）由于，所以，從而級(jí)數(shù)收斂．（Ⅱ）由于存在，且，所以函數(shù)單調(diào)不增．又因?yàn)樵趨^(qū)間上單增，所以必有，即級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)． 根據(jù)拉格朗日中值定理可得，所以 ．由（Ⅰ）可知收斂，所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂，再根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)可得級(jí)數(shù)收斂．六、其它[] 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，判定級(jí)數(shù)的斂散性．解：正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得，存在，記為（）． 因?yàn)榧?jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，若，由萊布尼茲判別法可知，該級(jí)數(shù)收斂．但題設(shè)該級(jí)數(shù)發(fā)散，所以必定有，于是 ．由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂．[] 討論級(jí)數(shù)在哪些處收斂？在哪些處發(fā)散？解：⑴ 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿(mǎn)足“萊布尼茲判別法”的條件，故收斂；⑵ 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，趨向定常數(shù)，故發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)發(fā)散； ⑶ 當(dāng)時(shí)，由于，所以上式中第一項(xiàng)以后的各項(xiàng)都為負(fù)的．考察級(jí)數(shù)，由于，所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的“比較判別法”的極限形式知，級(jí)數(shù)發(fā)散．從而，即原級(jí)數(shù)發(fā)散．綜上所述，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散．[] 已知，判定級(jí)數(shù)的斂散性．分析：該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)以遞推公式給出，這給級(jí)數(shù)類(lèi)型的判定以及通項(xiàng)是否收斂于零帶來(lái)困難．不妨先假設(shè)級(jí)數(shù)通項(xiàng)，再看由遞推公式兩端取極限時(shí)能否導(dǎo)出矛盾．一旦產(chǎn)生矛盾，便可確定級(jí)數(shù)發(fā)散．解：若，則．這與假設(shè)矛盾．因此，原級(jí)數(shù)發(fā)散．[] 設(shè)為常數(shù)，討論級(jí)數(shù)的斂散性．解：由于存在，因此想到分討論．當(dāng)時(shí)，由于，所以，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，=，所以，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，由于，所以級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)收斂且絕對(duì)收斂．[] 已知，對(duì)于，設(shè)曲線上點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)是以，和為頂點(diǎn)的三角形的面積，求級(jí)數(shù)的和解：（Ⅰ）曲線上點(diǎn)處的切線方程為 從而，從而（Ⅱ）由題意所以． 167。 冪級(jí)數(shù)本節(jié)重點(diǎn)是求冪級(jí)數(shù)的收斂域、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)．● ?？贾R(shí)點(diǎn)精講一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1．函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)都在上有定義，則稱(chēng)表達(dá)式 為定義在上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱(chēng)為通項(xiàng)，稱(chēng)為部分和函數(shù)．2．收斂域定義：設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)是的一個(gè)收斂點(diǎn)．所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為級(jí)數(shù)的收斂域．3．和函數(shù) 定義：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋瑒t任給，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和函數(shù)．評(píng)注：求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域時(shí)，主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法．二、冪級(jí)數(shù)1．冪級(jí)數(shù)的定義定義：設(shè)是一實(shí)數(shù)列，則稱(chēng)形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為處的冪級(jí)數(shù)．時(shí)的冪級(jí)數(shù)為．2．阿貝爾定理定理：對(duì)冪級(jí)數(shù)有如下的結(jié)論：⑴ 如果該冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則對(duì)滿(mǎn)足的一切的對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂；⑵ 如果該冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，則對(duì)滿(mǎn)足的一切的對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都發(fā)散．[] 若冪級(jí)數(shù)在處收斂，問(wèn)此級(jí)數(shù)在處是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？解：由阿貝爾定理知，冪級(jí)數(shù)在處收斂，則對(duì)一切適合不等式（即）的該級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂．故所給級(jí)數(shù)在處收斂且絕對(duì)收斂．三、冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間如果冪級(jí)數(shù)不是僅在處收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則必定存在一個(gè)正數(shù)，它具有下述性質(zhì)：⑴ 當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；⑵ 當(dāng)時(shí)，發(fā)散．如果冪級(jí)數(shù)僅在處收斂，定義；如果冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂，則定義．則稱(chēng)上述為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．稱(chēng)開(kāi)區(qū)間為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間．四、冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑法一：⑴ 求極限⑵ 令則收斂半徑為；法二：若滿(mǎn)足，則；法三；⑴ 求極限⑵ 令則收斂半徑為．[] 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域⑴ ⑵ ⑶解：⑴ 收斂半徑，所以收斂域?yàn)椋? ⑵ 收斂半徑當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為這是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為這是發(fā)散的級(jí)數(shù)，于是該冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)椋? ⑶ 由于令，可得，所以收斂半徑為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)為，此級(jí)數(shù)發(fā)散，于是原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?、冪?jí)數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù)收斂半徑為；收斂半徑為，則1．，收斂半徑；2．，收斂半徑；3．冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)；4．冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，且求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為．即有 ．5．冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，且積分后所得到的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為．即有 [] 用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求下列冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù) ⑴ ⑵解：⑴ 令，則 所以； ⑵ 令，則 所