【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 以 ，．六、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1．函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若存在冪級(jí)數(shù)，使得 則稱在區(qū)間上能展開成處的冪級(jí)數(shù)．2．展開形式的唯一性定理：若函數(shù)在區(qū)間上能展開成處的冪級(jí)數(shù) 則其展開式是唯一的，且 ．七、泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)1．泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)的定義定義：如果在的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱冪級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)．當(dāng)時(shí)，稱冪級(jí)數(shù)為函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)．2．函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件定理：函數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)在上收斂到的充分必要條件是：在處的泰勒公式 的余項(xiàng)在上收斂到零，即對(duì)任意的，都有．八、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法1．直接法利用泰勒級(jí)數(shù)的定義及泰勒級(jí)數(shù)收斂的充要條件，將函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上直接展開成指定點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)的方法．2．間接法 通過一定的運(yùn)算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)，進(jìn)而利用新函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開將原來的函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法．所用的運(yùn)算主要是四則運(yùn)算、（逐項(xiàng)）積分、（逐項(xiàng)）求導(dǎo)、變量代換．利用的冪級(jí)數(shù)展開式是下列一些常用函數(shù)的麥克勞林展開公式．冪級(jí)數(shù)常用的七個(gè)展開式．●● ?？碱}型及其解法與技巧一、阿貝爾定理的應(yīng)用[] 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2，則冪級(jí)數(shù)在下列點(diǎn)處必收斂（A） （B）（C） （D）解：由于與有相同的收斂半徑，所以當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)?yīng)的級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，顯然集合中的點(diǎn)都滿足不等式，故選（A）[] 如級(jí)數(shù)在處收斂，問級(jí)數(shù)在處斂散性怎樣？解：由阿貝爾定理，對(duì)一切的值，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而級(jí)數(shù)滿足：對(duì)一切的值，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．現(xiàn)顯然不滿足，故級(jí)數(shù)在處斂散性不確定．[] 設(shè)收斂，則（A）條件收斂 （B）絕對(duì)收斂 （C）發(fā)散 （D）不定解：考查冪級(jí)數(shù)，由于收斂，所以冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，根據(jù)阿貝爾定理當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而此時(shí)對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為．所以應(yīng)選（B）[] 設(shè)冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，則該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為．解：由于在處條件收斂，由阿貝爾定理得，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．所以收斂半徑；假設(shè)．由收斂半徑的定義知時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，所以級(jí)數(shù)在處應(yīng)絕對(duì)收斂，矛盾．所以．因此收斂半徑．二、收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域 求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的方法我們?cè)诔？贾R(shí)點(diǎn)中介紹過，如果冪級(jí)數(shù)中的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的，這時(shí)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的計(jì)算公式 如果冪級(jí)數(shù)中的冪次不是按自然數(shù)順序依次遞增的（如缺少奇數(shù)次冪或缺偶次冪等），這時(shí)不能用上面的公式計(jì)算收斂半徑，而必須使用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法或根值判別法（即常考知識(shí)點(diǎn)中介紹的法一與法三）求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑． 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為．為了求冪級(jí)數(shù)的收斂域還需判別在與處級(jí)數(shù)的斂散性．[] 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域（1） （2） （3）（4） （5） 解：（1）此級(jí)數(shù)的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的，其收斂半徑可直接按公式計(jì)算： 在處，級(jí)數(shù)成為，由[]中的（1）可知該級(jí)數(shù)發(fā)散；在處，級(jí)數(shù)成為，可判定發(fā)散．故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? （2）此級(jí)數(shù)的收斂半徑也可按公式計(jì)算： 在處，級(jí)數(shù)成為，這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂；在處，級(jí)數(shù)成為，由于，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散．因此所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? （3）此級(jí)數(shù)缺少的偶次冪．故需利用比值判別法求收斂半徑．令可得，故收斂半徑為．在處，級(jí)數(shù)成為，這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂；在處，級(jí)數(shù)成為，這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂．因此所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? （4）此級(jí)數(shù)缺少的奇次冪．故需利用比值判別法求收斂半徑．令可得，故收斂半徑為．在處，級(jí)數(shù)成為，該級(jí)數(shù)顯然收斂；在處，級(jí)數(shù)成為，該級(jí)數(shù)收斂．因此所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）此級(jí)數(shù)中的的冪次不是按自然順依次遞增的．故需用比值判別法求收斂半徑． 令可得，故收斂半徑為．于是冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋甗] 求冪級(jí)數(shù)的收斂域．解：設(shè)冪級(jí)數(shù)，的收斂半徑分別為，則，．因此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為． （1） 若，則．在，級(jí)數(shù)為收斂；在，級(jí)數(shù)為發(fā)散，從而收斂域?yàn)椋? （2）若，則．在，級(jí)數(shù)為收斂；在，級(jí)數(shù)為收斂；，從而收斂域?yàn)椋甗] 已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，求其收斂域．解：由于冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)在處收斂，由阿貝爾定理可得，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，所以收斂半徑；假設(shè)收斂半徑，由收斂半徑的定義可知，時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，而，所以級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂，與已知矛盾．故．綜上可得，收斂半徑．又因?yàn)榧?jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，故收斂域?yàn)椋?、函?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求收斂域函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求收斂域的基本方法：⑴ 用正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法（或根值判別法）求（或）；⑵解不等式，求出的收斂區(qū)間；⑶ 判定級(jí)數(shù)與的斂散性．評(píng)注：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求收斂域有時(shí)也利用變量代換化為冪級(jí)數(shù)，利用冪級(jí)數(shù)求收斂域的方法來完成，或者利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)其它判別法、及性質(zhì)完成．[] 求下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域（1） （2）解：（1）令，可得．而當(dāng)時(shí)，所以該級(jí)數(shù)也收斂．所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）令，可得，即．當(dāng)時(shí)，所以該級(jí)數(shù)也收斂； 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)為，它是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茲判別法知，該級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)為，它是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由比較判別法知，該級(jí)數(shù)發(fā)散．故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋甗] 求級(jí)數(shù)的收斂域．解：令，考察級(jí)數(shù)的收斂域由于，所以冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)冪級(jí)數(shù)為，由于，所以級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)冪級(jí)數(shù)為，由于級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)都收斂，所以收斂．從而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋捎?，所以原?jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?、冪?jí)數(shù)求和函數(shù) 求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的基本方法：⑴求出其收斂域；⑵利用冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分、或變量代換，將冪級(jí)數(shù)化為常用展開式的情形之一，從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)；⑶對(duì)所得到的和函數(shù)做相反的分析運(yùn)算，便得原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．評(píng)注：①若冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理分式，一般可用逐項(xiàng)求導(dǎo)來求和函數(shù)；②若冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理整式，一般可用逐項(xiàng)積分來求和函數(shù)．[]求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) （1） （2）分析：冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理整式，故應(yīng)利用逐項(xiàng)積分來求和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是的有理分式，應(yīng)利用逐項(xiàng)求導(dǎo)來求和函數(shù)．解：（1）由于收斂半徑當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)椋驗(yàn)? 令 ，則 于是 ， 從而，所以和函數(shù)為．（2），所以收斂半徑為當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋O(shè)，則，從而所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故=．[] 求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．解：收斂半徑為，所以收斂域?yàn)椋? 顯然 ，又 而 所以，故 ．[] 設(shè)有級(jí)數(shù)（Ⅰ）求此級(jí)數(shù)的收斂域（Ⅱ）證明此級(jí)數(shù)滿足微分方程（Ⅲ）求此級(jí)數(shù)的和函數(shù)解：（Ⅰ）因?yàn)椋手?jí)數(shù)對(duì)任何都收斂，即其收斂域?yàn)椋á颍┰O(shè)，則，所以，（Ⅲ）容易求得上述方程的通解為由，可定出故級(jí)數(shù)的和函數(shù)為．[] 設(shè)冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿足 ，（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求的表達(dá)式．分析：用已知條件推證（Ⅰ）比較簡(jiǎn)單．對(duì)于的表達(dá)式想通過解方程得到非常困難，因?yàn)樗o方程超出我們所學(xué)范圍，不過可以通過（Ⅰ）把的具體表達(dá)式求出來，利用已知的常用冪級(jí)數(shù)展開式把冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)寫出來．證明：（Ⅰ） 由于，從而， 故 所以 ， ；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，于是由（Ⅰ）可得? 所以級(jí)數(shù)為，而，故，．五、用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的方法之一是利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．此方法是：①根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造冪級(jí)數(shù)（其中取等情形中的一種）；②求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則．評(píng)注：的構(gòu)造應(yīng)選取易求得和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)．[] 求下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和（1） （2） （3） 解：（1）令，則所以 ，因此．（2）令，則所以，因此．（3）令，則，所以，因此．[] 求級(jí)數(shù)的和．解：由于，令 ，則，所以，從而．六、將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)主要用間接展開法．