【正文】 無窮級數(shù) 知識點總復(fù)習(xí)本章重點是判斷數(shù)項級數(shù)的斂散性，冪級數(shù)與傅里葉級數(shù)的展開與求和． 167。 數(shù)項級數(shù)本節(jié)重點是級數(shù)的性質(zhì)，正項級數(shù)的幾個判別法，交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂．● ?？贾R點精講一、數(shù)項級數(shù)的概念1．?dāng)?shù)項級數(shù)定義定義：設(shè)是一個數(shù)列，則稱表達式 為一個數(shù)項級數(shù)，簡稱級數(shù)，其中第項稱為級數(shù)的通項或一般項，稱為級數(shù)的前項部分和．2．級數(shù)收斂的定義定義：若數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，則稱級數(shù)收斂，極限值稱為此級數(shù)的和．當(dāng)不存在時，則稱級數(shù)發(fā)散． 利用級數(shù)收斂的定義，易知當(dāng)時，幾何級數(shù)收斂，和為；當(dāng)，幾何級數(shù)發(fā)散．[] 判斷下列級數(shù)的斂散性⑴ ⑵解：⑴由于 所以 ，故級數(shù)收斂． ⑵ 由于所以，故級數(shù)發(fā)散．二、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件1．設(shè)都收斂，和分別為，則必收斂，且；評注：若收斂，發(fā)散，則必發(fā)散；若都發(fā)散，則可能發(fā)散也可能收斂．2．設(shè)為非零常數(shù)，則級數(shù)與有相同的斂散性；3．改變級數(shù)的前有限項，不影響級數(shù)的斂散性；4．級數(shù)收斂的必要條件：如果收斂，則；5．收斂的級數(shù)在不改變各項次序前提下任意加括號得到的新級數(shù)仍然收斂且和不變．評注：若某級數(shù)添加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)亦發(fā)散．[] 判斷下列級數(shù)的斂散性⑴ ⑵ 解：⑴由于收斂，發(fā)散，所以 發(fā)散，由性質(zhì)5的“注”可知級數(shù)發(fā)散； ⑵ 由于，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，所以級數(shù)發(fā)散．三、正項級數(shù)及其斂散性判別法各項為非負(fù)（）的級數(shù)稱為正項級數(shù)．1．正項級數(shù)收斂的基本定理定理：設(shè)是正項級數(shù)的部分和數(shù)列，則正項級數(shù)收斂的充要條件是數(shù)列有界．當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散．（時的級數(shù)也叫調(diào)和級數(shù)）2．正項級數(shù)的比較判別法定理：（正項級數(shù)比較判別法的非極限形式）設(shè)都是正項級數(shù)，并設(shè)，則⑴ 若收斂，則收斂；⑵ 若發(fā)散，則發(fā)散．定理：（正項級數(shù)比較判別法的極限形式）設(shè)都是正項級數(shù)，并設(shè)或為，則⑴ 當(dāng)為非零常數(shù)時，級數(shù)有相同的斂散性；⑵ 當(dāng)時，若收斂，則必有收斂；⑶ 當(dāng)時，若發(fā)散，則必有發(fā)散．評注：用比較判別法的比較對象常取級數(shù)與等比級數(shù)及．3．正項級數(shù)的比值判別法定理：設(shè)是正項級數(shù)，若或為，則級數(shù)有⑴ 當(dāng)時，收斂；⑵ 當(dāng)或時，發(fā)散；⑶ 當(dāng)時，斂散性不確定．評注：⑴ 若，則級數(shù)必發(fā)散；⑵ 如果正項級數(shù)通項中含有階乘，一般用比值判別法判定該級數(shù)的斂散性；⑶ 當(dāng)1或不存在（但不為），則比值判別法失效．4．正項級數(shù)的根值判別法將比值判別法中的改成，其它文字?jǐn)⑹觥⒔Y(jié)論均不改動，即為根值判別法．5．利用通項關(guān)于無窮小的階判定正項級數(shù)的斂散性定理：設(shè)是正項級數(shù)，為的階無窮小，則當(dāng)時，正項級數(shù)收斂；當(dāng)時，正項級數(shù)發(fā)散．[] 判斷下列級數(shù)的斂散性 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷解：⑴ 由于，而級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散；⑵ 由于，所以由比值判別法可得，原級數(shù)收斂；⑶ 由于，所以由根值判別法可知，原級數(shù)收斂；⑷ 由于為的階無窮小，所以原級數(shù)收斂．四、交錯級數(shù)及其斂散性判別法1．交錯級數(shù)定義定義：若級數(shù)的各項是正項與負(fù)項交錯出現(xiàn)，即形如 的級數(shù)，稱為交錯級數(shù)．2．交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法定理：若交錯級數(shù)滿足條件⑴ ； ⑵ ，則交錯級數(shù)收斂，其和其余項滿足．五、任意項級數(shù)及其絕對收斂若級數(shù)的各項為任意實數(shù)，則稱它為任意項級數(shù)．1．條件收斂、絕對收斂 若收斂，則稱絕對收斂；若發(fā)散但收斂，則稱條件收斂．評注：絕對收斂的級數(shù)不因改變各項的位置而改變其斂散性與其和．2．任意項級數(shù)的判別法定理：若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂．即絕對收斂的級數(shù)一定收斂．[] 判斷下列級數(shù)是否收斂？若收斂，指明是絕對收斂還是條件收斂 ⑴ ⑵解：⑴ 記因為 所以級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂且為絕對收斂； ⑵ 記由于，而發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散 又是一交錯級數(shù)，且，由萊布尼茲定理知，原級數(shù)收斂，故原級數(shù)條件收斂．●● ?？碱}型及其解法與技巧一、概念、性質(zhì)的理解[] 已知，則級數(shù)的和等于__________.解：由于，所以根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)可得 從而因此．[] 設(shè)，則下列級數(shù)中肯定收斂的是（A）； （B）； （C）； （D） 解：取，則，此時（A）與（C）都發(fā)散；若取，則，此時（B）發(fā)散；由排除法可得應(yīng)選（D）．事實上，若，則，根據(jù)“比較判別法”得收斂．從而收斂，故應(yīng)選（D）．[] 已知級數(shù)發(fā)散，則（A）一定收斂， （B）一定發(fā)散（C）不一定收斂 （D）解：假設(shè)收斂，則根據(jù)級數(shù)斂散的性質(zhì)，不改變各項的次序加括號后得到的新級數(shù)仍然收斂，即也收斂．這與已知矛盾，故一定發(fā)散．應(yīng)選（B）．[] 設(shè)正項級數(shù)的部分和為，又，已知級數(shù)收斂，則級數(shù)必（A）收斂 （B）發(fā)散 （C）斂散性不定 （D）可能收斂也可能發(fā)散解：由于級數(shù)收斂，所以根據(jù)收斂的必要條件可得，又，所以，故級數(shù)發(fā)散，故應(yīng)選（B）．[] 設(shè)有命題（1） 若收斂，則收斂；（2）若為正項級數(shù)，且，則收斂；（3）若存在極限，且收斂，則收斂；（4）若，又與都收斂，則收斂．則上述命題中正確的個數(shù)為（A） （B） （C） （D）解：關(guān)于命題（1），令，則收斂，但發(fā)散，所以不正確； 關(guān)于命題（2），令，則為正項級數(shù)，且，但發(fā)散，所以不正確； 關(guān)于命題（3），令，則在極限，且收斂，但發(fā)散，所以不正確；關(guān)于命題（4），因為，所以，因為與都收斂，所以由“比較判別法”知收斂，故收斂．故應(yīng)選（A）．二、正項級數(shù)斂散性的判定正項級數(shù)判別斂散的思路：①首先考察（若不為零，則級數(shù)發(fā)散；若等于零，需進一步判定）；②根據(jù)一般項的特點選擇相應(yīng)的判別法判定．評注：⑴ 若一般項中含有階乘或者的乘積形式，通常選用比值判別法： ⑵ 若一般項中含有以為指數(shù)冪的因式，通常采用根值判別法：⑶ 若一般項中含有形如（為實數(shù)）的因式，通常采用比較判別法．⑷ 如果以上方法還行不通時，則可考慮用斂散的定義判定．[] 判斷下列級數(shù)的斂散性 （1） （2） （3） （4） （5） （6）解：（1）用比值法． ，所以原級數(shù)收斂．（2）用比值法． ，所以原級數(shù)收斂．（3）用根值法． ，所以原級數(shù)發(fā)散．（4）用比較法．取，因為，而收斂，所以原級數(shù)收斂．（5）用比較法． 取，因為，而發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散．（6）由于，故由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散．評注：在考研題中遇到該類問題應(yīng)①先看當(dāng)時，級數(shù)的通項是否趨向于零（如果不易看出，可跳過這一步），若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則②再看級數(shù)是否為幾何級數(shù)或級數(shù)，因為這兩種級數(shù)的斂散性已知．如果不是幾何級數(shù)或級數(shù)，則③用比值判別法進行判定，如果比值判別法失效，則④再用比較判別法進行判定．常用來做比較的級數(shù)主要有幾何級數(shù)、級數(shù)等．[] 判斷下列級數(shù)的斂散性（1） （2）分析：用比值判別法失效，用比較判別法不易找到用來作比較的級數(shù)，此時一般利用通項關(guān)于無窮小的階判定正項級數(shù)的斂散性．解：（1）考查 換成連續(xù)變量，再用羅必達法則， 取，上述極限值為．所以原級數(shù)與同斂散，故原級數(shù)收斂．（2）考查 換成連續(xù)變量，再用羅必達法則， 取，上述極限值為．所以原級數(shù)與同斂散，故原級數(shù)收斂．[] 研究下列級數(shù)的斂散性（1）（是常數(shù)）； （2），這里為任意實數(shù)，為非負(fù)實數(shù)．分析：此例中兩個級數(shù)的通項都含有參數(shù)．一般說來，級數(shù)的斂散性與這些參數(shù)的取值有關(guān)．對這種情況通常由比值判別法進行討論．解：（1）記，由比值判別法可得 顯然，當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，由于，所以，故級數(shù)發(fā)散．（2）記，由比值判別法可得 顯然，當(dāng)，為任意實數(shù)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，為任意實數(shù)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，比值判別法失效．這時，由級數(shù)的斂散性知，當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散．[] 判別下列級數(shù)的斂散性（1） （2）分析：此例兩個級數(shù)的通項都是由積分給出的正項級數(shù)．如果能把積分求出來，再判定其斂散性，這樣做固然可以，但一般工作量較大．常用的方法是利用積分的性質(zhì)對積分進行估值．估值要適當(dāng)：若放大則不等式右端應(yīng)是某收斂