【正文】 初等數(shù)論學(xué)習(xí)總結(jié)本課程只介紹初等數(shù)論的的基本內(nèi)容。由于初等數(shù)論的基本知識和技巧與中學(xué)數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系， 因此初等數(shù)論對于中學(xué)的數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)系(特別是師范院校)的本科生來說，是一門有著重要意義的課程，在可能情況下學(xué)習(xí)數(shù)論的一些基礎(chǔ)內(nèi)容是有益的．一方面通過這些內(nèi)容可加深對數(shù)的性質(zhì)的了解，更深入地理解某些他鄰近學(xué)科，另一方面，也許更重要的是可以加強他們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，這些訓(xùn)練在很多方面都是有益的．正因為如此，許多高等院校，特別是高等師范院校，都開設(shè)了數(shù)論課程。 最后，給大家提一點數(shù)論的學(xué)習(xí)方法，即一定不能忽略習(xí)題的作用，通過做習(xí)題來理解數(shù)論的方法和技巧，華羅庚教授曾經(jīng)說過如果學(xué)習(xí)數(shù)論時只注意到它的內(nèi)容而忽略習(xí)題的作用，則相當(dāng)于只身來到寶庫而空手返回而異。數(shù)論有豐富的知識和悠久的歷史，作為數(shù)論的學(xué)習(xí)者，應(yīng)該懂得一點數(shù)論的常識，為此在輔導(dǎo)材料的最后給大家介紹數(shù)論中著名的“哥德巴赫猜想”和費馬大定理的閱讀材料。初等數(shù)論自學(xué)安排第一章：整數(shù)的可除性（6學(xué)時）自學(xué)18學(xué)時整除的定義、帶余數(shù)除法最大公因數(shù)和輾轉(zhuǎn)相除法整除的進一步性質(zhì)和最小公倍數(shù)素數(shù)、算術(shù)基本定理[x]和{x}的性質(zhì)及其在數(shù)論中的應(yīng)用習(xí)題要求：2，3 ； ：4 ；：1；：1，2，5；：1。第二章：不定方程（4學(xué)時）自學(xué)12學(xué)時二元一次不定方程多元一次不定方程勾股數(shù)費爾馬大定理。習(xí)題要求：1，2，4；：2，3。第三章：同余（4學(xué)時）自學(xué)12學(xué)時同余的定義、性質(zhì)剩余類和完全剩余系歐拉函數(shù)、簡化剩余系歐拉定理、費爾馬小定理及在循環(huán)小數(shù)中的應(yīng)用習(xí)題要求：2，6；：1；：2，3； 1，2。第四章：同余式（方程）（4學(xué)時）自學(xué)12學(xué)時同余方程概念孫子定理高次同余方程的解數(shù)和解法素數(shù)模的同余方程威爾遜定理。習(xí)題要求：1；：1，2；：1，2。第五章：二次同余式和平方剩余（4學(xué)時）自學(xué)12學(xué)時二次同余式單素數(shù)的平方剩余與平方非剩余勒讓德符號二次互反律雅可比符號、素數(shù)模同余方程的解法習(xí)題要求：2； ：1，2，3；：1，2；：2；：1。第一章：原根與指標(biāo)（2學(xué)時）自學(xué)8學(xué)時指數(shù)的定義及基本性質(zhì)原根存在的條件指標(biāo)及n次乘余模2及合數(shù)模指標(biāo)組、特征函數(shù)習(xí)題要求：3。216。 第一章 整除一、主要內(nèi)容整除的定義、帶余除法定理、余數(shù)、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除法、互素、兩兩互素、素數(shù)、合數(shù)、算術(shù)基本定理、Eratosthesen篩法、[x]和{x}的性質(zhì)、n！的標(biāo)準分解式。二、基本要求通過本章的學(xué)習(xí)，能了解引進整除概念的意義，熟練掌握整除 整除的定義以及它的基本性質(zhì)，并能應(yīng)用這些性質(zhì)，了解解決整除問題的若干方法，熟練掌握本章中二個著名的定理：帶余除法定理和算術(shù)基本定理。認真體會求二個數(shù)的最大公因數(shù)的求法的理論依據(jù)，掌握素數(shù)的定義以及證明素數(shù)有無窮多個的方法。能熟練求出二個整數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，掌握高斯函數(shù)[x]的性質(zhì)及其應(yīng)用。三、重點和難點（1）素數(shù)以及它有關(guān)的性質(zhì)，判別正整數(shù)a為素數(shù)的方法，算術(shù)基本定理及其應(yīng)用。（2）素數(shù)有無窮多個的證明方法。（3）整除性問題的若干解決方法。（4）[x]的性質(zhì)及其應(yīng)用，n！的標(biāo)準分解式。四、自學(xué)指導(dǎo)整除是初等數(shù)論中最基本的概念之一，b∣a的意思是存在一個整數(shù)q，使得等式a=bq成立。因此這一標(biāo)準作為我們討論整除性質(zhì)的基礎(chǔ)。也為我們提供了解決整除問題的方法。即當(dāng)我們無法用整除語言來敘述或討論整除問題時，可以將其轉(zhuǎn)化為我們很熟悉的等號問題。對于整除的若干性質(zhì)，最主要的性質(zhì)為傳遞性和線性組合性，即（1） a∣b, b∣c, 則有a∣c（2） a∣b, a∣c, 則有a∣mb+nc讀者要熟練掌握并能靈活應(yīng)用。特別要注意，數(shù)論的研究對象是整數(shù)集合，比小學(xué)數(shù)學(xué)中非負整數(shù)集合要大。本章中最重要的定理之一為帶余除法定理，即為設(shè)a是整數(shù)，b是非零整數(shù)，則存在兩個整數(shù)q，r，使得 a=bq+r （0）它可以重作是整除的推廣。同時也可以用帶余除法定理來定義整除性，（即當(dāng)余數(shù)r=0時）。帶余除法可以將全體整數(shù)進行分類，從而可將無限的問題轉(zhuǎn)化為有限的問題。這是一種很重要的思想方法，它為我們解決整除問題提供了又一條常用的方法。同時也為我們建立同余理論建立了基礎(chǔ)。讀者應(yīng)熟知常用的分類方法，例如把整數(shù)可分成奇數(shù)和偶數(shù)，特別對素數(shù)的分類方法。例全體奇素數(shù)可以分成4k+1，4k+3；或6k+1，6k+5等類型。和整除性一樣，二個數(shù)的最大公約數(shù)實質(zhì)上也是用等號來定義的，因此在解決此類問題時若有必要可化為等式問題，最大公因數(shù)的性質(zhì)中最重要的性質(zhì)之一為 a=bq+c，則一定有（a，b）=（b，c），就是求二個整數(shù)的最大公約數(shù)的理論根據(jù)。也是解決關(guān)于最大公約數(shù)問題的常用方法之一。讀者應(yīng)有盡有認真體會該定理的證明過程?；ニ嘏c兩兩互素是二個不同的概念，既有聯(lián)系，又有區(qū)別。要認真體會這些相關(guān)的性質(zhì)，例如，對于任意a ,b∈Z，可設(shè)（a ,b）=d，則a=da1 ,b=db1，則（a1 ,b1）=1，于是可對a1 ,b1使用相應(yīng)的定理，要注意，相關(guān)定理及推論中互素的條件是經(jīng)常出現(xiàn)的。讀者必須注意定理成立的條件，也可以例舉反例來進行說明以加深影響。順便指出，若a∣c，b∣c，（a ,b）=1，則ab∣c是我們解決當(dāng)除數(shù)為合數(shù)時的一種方法。好處是不言而喻的。最小公倍數(shù)實際上與最大公因數(shù)為對偶命題。特別要指出的是a和b的公倍數(shù)是有無窮多個。所以一般地在無窮多個數(shù)中尋找一個最小數(shù)是很困難的，為此在定義中所有公倍數(shù)中的最小的正整數(shù)。這一點實際上是應(yīng)用自然數(shù)的最小自然數(shù)原理，即自然數(shù)的任何一個子集一定有一個最小自然數(shù)有在。最小公倍數(shù)的問題一般都可以通過以下式子轉(zhuǎn)化為最大公因數(shù)的問題。兩者的關(guān)系為a ,b∈N， [a ,b]=上述僅對二個正整數(shù)時成立。當(dāng)個數(shù)大于2時，上述式子不再成立。證明這一式子的關(guān)鍵是尋找a , b的所有公倍數(shù)的形式，然后從中找一個最小的正整數(shù)。解決了兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)問題后，就可以求出n個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)問題，可以兩個兩個地求。即有下面定理設(shè)是n個整數(shù)，則（）=設(shè)則有[]=素數(shù)是數(shù)論研究的核心，許多中外聞名的題目都與素數(shù)有關(guān)。除1外任何正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)即為合數(shù)。判斷一個已知的正整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)可用判別定理去實現(xiàn)。判別定理又是證明素數(shù)無窮的關(guān)鍵。實際上，對于任何正整數(shù)n1，由判別定理一定知存在素數(shù)p，使得p∣n 。即任何大于1的整數(shù)一定存在一個素因數(shù)p 。素數(shù)有幾個屬于內(nèi)在本身的性質(zhì)，這些性質(zhì)是在獨有的，讀者可以用反例來證明：素數(shù)這一條件必不可少。以加深對它們的理解。其中p∣abp∣a或p∣b也是常用的性質(zhì)之一。也是證明算術(shù)基本定理的基礎(chǔ)。算術(shù)基本定理是整數(shù)理論中最重要的定理之一，即任何整數(shù)一定能分解成一些素數(shù)的乘積，而且分解是唯一的，不是任何數(shù)集都能滿足算術(shù)基本定理的，算術(shù)基本定理為我們提供了解決其它問題的理論保障。它有許多應(yīng)用，由算術(shù)基本定理我們可以得到自然數(shù)的標(biāo)準分解問題。設(shè)a=，b=，則有（a，b）= [a，b]= 例如可求最大公約數(shù)，正整數(shù)正約數(shù)的個數(shù)等方面問題，對具體的n，真正去分解是件不容易的事。對于較特殊的n，例如n！分解還是容易的。應(yīng)用[x]的性質(zhì)，n！的標(biāo)準分解式可由一個具體的公式表示出來，這一公式結(jié)合[x]的性質(zhì)又提供了解決帶有乘除符號的整除問題的方法。本章的許多問題都圍繞著整除而展開，讀者應(yīng)對整除問題的解決方法作一簡單的小結(jié)。五、例子選講補充知識①最小自然數(shù)原理：自然數(shù)的任意非空子集中一定存在最小自然數(shù)。②抽屜原理：（1）設(shè)n是一個自然數(shù)，有n個盒子，n+1個物體，把n+1個物體放進n個盒子，至少有一個盒子放了兩個或兩個以上物體；（2）km+1個元素，分成k組，至少有一組元素其個數(shù)大于或等于m+1；（3）無限個元素分成有限組，至少有一組其元素個數(shù)為無限。③梅森數(shù)：形如2n1的數(shù)叫梅森數(shù)，記成Mn=2n1。④費爾馬數(shù)：n為非負整數(shù)，形如的數(shù)叫費爾馬數(shù)，記成Fn=。⑤設(shè)n=，設(shè)n的正因子個數(shù)為d(n)，所有正因子之和為，則有⑥有關(guān)技巧1. 整數(shù)表示a=a010n+a110n1+…+an，a=2kb(b為奇數(shù)) a. 用定義b. 對整數(shù)按被n除的余數(shù)分類討論c. 連續(xù)n個整數(shù)的積一定是n的倍數(shù)d. 因式分解anbn=(ab)M1,an+bn=(a+b)M2, 2 ne. 用數(shù)學(xué)歸納法f. 要證明a|b，只要證明對任意素數(shù)p，a中p的冪指數(shù)不超過b中p的冪指數(shù)即可，用p(a)表示a中p的冪指數(shù)，則a|bp(a)p(b)例題選講.解: 11!+2，11!+3，……，11！+11。例2. 證明連續(xù)三個整數(shù)中，必有一個被3整除。證：設(shè)三個連續(xù)正數(shù)為a，a+1，a+2，而a只有3k，3k+1，3k+2三種情況，令a=3k，顯然成立，a=3k+1時，a+2=3(k+1)，a=3k+2時，a+1=3(k+1)。例3. 證明lg2是無理數(shù)。證：假設(shè)lg2是有理數(shù)，則存在二個正整數(shù)p，q，使得lg2=，由對數(shù)定義可得10=2，則有25 =2,則同一個數(shù)左邊含因子5，右邊不含因子5，與算術(shù)基本定理矛盾?！鄉(xiāng)g2為無理數(shù)。例4. 求(21n+4，14n+3)解：原式=(21n+4,14n+3)=(7n+1,14n+3)=(7n+1,7n+2)=(7n+1,1)=1例5. 求2004!末尾零的個數(shù)。解：因為10=25，而2比5多，所以只要考慮2004！中5的冪指數(shù)，即5（2004?。?（n!）(n1)!|(n!)!證：對任意素數(shù)p,設(shè)（n!）(n1)!中素數(shù)p的指數(shù)為，（n!）!中p的指數(shù)β，則，,即，即左邊整除右邊。例7. 證明2003|（20022002+200420042005）證：∵ 20022002=（20031）2002=2003M1+