小奧數(shù)論1-整除和余數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典例題(已修改)
2025-07-02 06:06 本頁面
【正文】 1. 數(shù)論——數(shù)的整除和余數(shù) 整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。b∣a，讀著b能整除a。或a能被b整除；b a，不能整除；① 傳遞性：如果a|b,b|c,那么a|c。即b是a的倍數(shù)，c是b的倍數(shù)，則c肯定是a的倍數(shù)；② 加減性：如果a|b、a|c，那么a|(bc)。③ 因數(shù)性：如果ab|c，那么a|c，b|c。即如果ab的積能整除c,則a或b皆能整除c。④ 互質(zhì)性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互質(zhì)，則ab的積能整除c。⑤ a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。整除數(shù)特 征2和5好朋友10，1個(gè)零，所以判斷末1位；2：末1位能被2整除；尾是0、8；5：末1位能被5整除；尾是0、5；4和25好朋友100，2個(gè)零，所以判斷末2位；4或25：末2位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125好朋友1000，3個(gè)零，所以判斷末3位；8或125：末3位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)16和625好朋友10000，4個(gè)零，所以判斷末4位；16或625：末4位數(shù)是16（或625）的倍數(shù)（用以判別能否被3或9整除）各數(shù)位上數(shù)字的和是3或9的倍數(shù)，則能被3或9整除。173652247。9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；簡便算法，利用整除的加減性，可以去掉1個(gè)或多個(gè)9，剩下數(shù)字的和x再除以3或9；如果x﹥9,則余數(shù)為x9。如果x﹤9,則余數(shù)為x。（用以判別能否被11整除）從右往左編號(hào)，編號(hào)為奇數(shù)的為奇數(shù)位，編號(hào)為偶數(shù)的為偶數(shù)位，看奇數(shù)位上的數(shù)字的和與偶數(shù)位上的數(shù)字的和的兩者之差是否能被11整除； 81729033247。11:奇數(shù)位和為6，偶數(shù)位和為27；如果奇數(shù)位和比偶數(shù)位和小，則奇數(shù)位和加1個(gè)或多個(gè)11，直到夠減。余數(shù)的判斷法與整數(shù)位的判斷法一致。（用以判別能否被7/11/13整除）從右往左三位一截并編號(hào)，編號(hào)為奇數(shù)的為奇數(shù)段，編號(hào)為偶數(shù)的為偶數(shù)段，看奇數(shù)段的數(shù)字的和與偶數(shù)段的數(shù)字的和的兩者之差是否能被113整除； 如，86372548，奇數(shù)段的和為（548+86），偶數(shù)段的和為372，求兩者差看能否被7整除，同樣，不夠減前面加1個(gè)或多個(gè)7，直到夠減，余數(shù)位的判斷法與整數(shù)位的判斷法一致。① 一般求空格數(shù)如果中間有空格，則利用加減性加或減除數(shù)7的倍數(shù)，分別從右邊和左邊抵消縮減位數(shù)，到最后看7的哪個(gè)倍數(shù)與縮減后的末位數(shù)相同，并看7的哪個(gè)倍數(shù)與縮減后的首位數(shù)相同，則前一個(gè)倍數(shù)的十位數(shù)和后一個(gè)倍數(shù)的個(gè)位數(shù)的和即為空格中應(yīng)填的數(shù)。注意，如果這個(gè)數(shù)加或減7后為1到9間的自然數(shù)，則加或減7后的這個(gè)數(shù)也為正確答案。395864□82365，答案為5463925□01234，答案為1和8② 特殊求空格數(shù)根據(jù)整除的因數(shù)性，如果1個(gè)數(shù)能被1001整除，則這個(gè)數(shù)能被1179143整除，因?yàn)椋?1113=1001。7713=1001。9911=1001。7143=1001。 根據(jù)abcabc=abc1001。 aaaaaa=aaa1001。求能被7整除的空格數(shù)（用以判別能否被9/99/999整除）除數(shù)是幾位數(shù)就可以從右往左幾位一截，將截取的段位數(shù)相加再截取，直至不能再截取，看相應(yīng)的數(shù)能否被相應(yīng)的除數(shù)9/99/999整除。除數(shù)是11時(shí)，也可以用兩位一截判別法，因?yàn)楦鶕?jù)整數(shù)的因數(shù)性，能被99整除的數(shù)，肯定能被1
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