小奧數(shù)論1-整除和余數(shù)知識點總結(jié)及經(jīng)典例題(完整版)
【正文】 位數(shù)=（）…..66 ① 余數(shù)不確定——余數(shù)的和【例1】63=m（）+a 90=m（）+b130=m（）+c,余數(shù)和為25；（63+90+130）=m（）+（a+b+c）=m（）+25（63+90+13025）=m（）258=m（）258的約數(shù)有8個：1/2582/1293/866/43因為余數(shù)要小于除數(shù)，判斷9﹤m﹤63；所以m=43② 余數(shù)不確定——余數(shù)相同【例2】300=m（商）+a 262=m（）+a205=m（）+a,根據(jù)同余定理：m∣（300262）= m∣（38）；m∣（262205）= m∣（57）；m∣（300205）= m∣（95）；滿足兩個即可，選數(shù)小的算，求同時滿足能整除38和57，即求這兩個數(shù)的公約數(shù)，分別有1和19，答案為19。若a≡b (mod m),a≡b (mod n),則a≡b(mod [m,n]).推論若a≡b(mod mi), i=1,2,…,n，則a≡b (mod [m1,m2,..,mn]).【例】將1996加上一個整數(shù)，使和能被9和11整除，加的整數(shù)盡可能小，那么加的整數(shù)是多少？1996≡16(mod 99)；9916=83定理4若a≡b (mod m),則an≡bn(modm),其中n是自然數(shù)。1011四位一截求和法從右往左四位一截，將截取的段位數(shù)相加，看相應的數(shù)能否被11整除。b記著：a≡d(modb)（與整除相同）【注意】：當被除數(shù)是比除數(shù)小的非零自然數(shù)，則被除數(shù)為余數(shù)；當被除數(shù)比余數(shù)大，則減去除數(shù)的倍數(shù)所得比除數(shù)小的數(shù)即為余數(shù)。a247。7713=1001。如果x﹤9,則余數(shù)為x。即b是a的倍數(shù)，c是b的倍數(shù)，則c肯定是a的倍數(shù)；② 加減性：如果a|b、a|c，那么a|(bc)。③ 因數(shù)性：如果ab|c，那么a|c，b|c。（用以判別能否被11整除）從右往左編號，編號為奇數(shù)的為奇數(shù)位，編號為偶數(shù)的為偶數(shù)位，看奇數(shù)位上的數(shù)字的和與偶數(shù)位上的數(shù)字的和的兩者之差是否能被11整除； 81729033247。9911=1001。b=c…..0；此時，a= bc。序號除數(shù)余數(shù)判別法特別要點12和5末1位判斷法；看末1位能否被2整除；尾是0、8能；看末1位能被5整除；尾是0、5能；24和25末2位判斷法末2位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)即能被4或25整除38和125末3位判斷法；末3位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)416和625末4位判斷法；末4位數(shù)是16（或625）的倍數(shù)53或9數(shù)字和法；棄3（9）法；各數(shù)位上數(shù)字的和是3或9的倍數(shù)，則能被3或9整除。如：9876543223456768，除以2,5,4,25,8,125,3,9,11的余數(shù)為0,3,0,8,0,18【例】將1，2,3,4，…，30從左往右依次排列成一個51位數(shù)，這個數(shù)被11除的余數(shù)是多少？奇數(shù)位數(shù)字和：（0+9+8+…+1）2+0+9+7+5+3+1=115偶數(shù)位數(shù)字和：3+210+110+8+6+4+2=5311553=62；62247。：兩個同模同余式的加減乘運算若a≡b(mod m), c≡d (mod m),則可以將這兩個同余式左右兩邊分別相加、相減或相乘：1）a+c≡b+d (mod m)。③ 余數(shù)不確定——余數(shù)的差【例3】97=m（商）+a+3 29=m（）+a變?yōu)?4=m（）+a,
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