小奧數(shù)論1-整除和余數(shù)知識點總結(jié)及經(jīng)典例題(編輯修改稿)
2025-07-17 06:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 于模m同余或a同余于b模m，記作a≡b(mod m)，如 56≡0 （mod 8），式子稱為同余式，m稱為該同余式的模。充要條件：整數(shù)a,b對模m同余的充要條件是 ab能被m整除（即m|ab）；或 a≡b(mod m)的充要條件是a=mt+b（t為整數(shù)）。同余關(guān)系具有自身性、對稱性與傳遞性，即1）自身性：a≡a (mod m)。2）對稱性：若a≡b (mod m), 則b≡a (mod m)。3）傳遞性：若a≡b (mod m), b≡c (mod m)，則a≡c (mod m).：一個同余式的加減乘及冪的運算定理1 若a≡b(mod m),n為自然數(shù)，則an≡bn (mod m)；即a、b關(guān)于關(guān)于模m同余，則a、b的同倍數(shù)也關(guān)于模m同余；定理2若ca≡cb(mod m), (c,m)=d（最大公約數(shù)）, 且a,b為整數(shù)，則a≡b(mod m/d).推論若ca=cb(mod m), (c,m)=1,且a,b為整數(shù)，則a≡b(mod m).定理3若a≡b (mod m),a≡b (mod n),則a≡b(mod [m,n]).推論若a≡b(mod mi), i=1,2,…,n，則a≡b (mod [m1,m2,..,mn]).【例】將1996加上一個整數(shù)，使和能被9和11整除，加的整數(shù)盡可能小，那么加的整數(shù)是多少？1996≡16(mod 99)；9916=83定理4若a≡b (mod m),則an≡bn(modm),其中n是自然數(shù)。：兩個同模同余式的加減乘運算若a≡b(mod m), c≡d (mod m),則可以將這兩個同余式左右兩邊分別相加、相減或相乘：1）a+c≡b+d (mod m)。即和的余數(shù)等于余數(shù)的和2）ac≡bd (mod m)。即差的余數(shù)等于余數(shù)的差；3）ac≡bd (mod m)；即積的余數(shù)等于余數(shù)的積；【例】316419813除以13所得的余數(shù)，求除數(shù)或求商（注意余數(shù)比除數(shù)?。?有余數(shù)的情況：a247。b=c…..d（0﹤d﹤b）； b=(ad) 247。c?；騝=(ad) 247。b如果，只知a和d,求b或c【例】1111 247。某2位數(shù)=（）…..66 ① 余數(shù)不確定——余數(shù)的和【例1】63=m（）+a 90=m（）+b130=m（）+c,余數(shù)和為25；（63+90+130）=m（）+（a+b+c）=m（）+25（63+90+13025）=m（）258=m（）258的約數(shù)有8個：1/2582/1293/866/43因為余數(shù)要小于除數(shù)，判斷9﹤m﹤63；所以m=43② 余數(shù)不確定——余數(shù)相同【例2】300=m（商）+a 262=m（）+a205=m（）+a,根據(jù)同余定理：m∣（300262）= m∣（38）；m∣（262205）= m∣（57）；m∣（300205）= m∣（95）；滿足兩個即可，選數(shù)小的算，求同時滿足能整除38和57，即求這兩個數(shù)的公約數(shù)，分別有1和19，答案為19。③ 余數(shù)不確定——余數(shù)的差【例3】97=m（商）+a+3 29=m（）+a變?yōu)?4=m（）+a,根據(jù)同余定理：m∣（9429）= m∣（65）；65的約數(shù)有1/65,5/13，除數(shù)大于余數(shù)，排除1和65,5和13都滿足； ④ 余數(shù)不確定——余數(shù)的倍數(shù)【例4】61=m（商）+2a 90=m（）+a變?yōu)?80=m（）+2a,根據(jù)同余定理：m∣（18061）= m
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