二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題詳解最終(編輯修改稿)
2025-07-20 21:18 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 +3, 請(qǐng)說(shuō)出他們的兩個(gè)相同點(diǎn):① , ② 。 再說(shuō)出它們的兩個(gè)不同點(diǎn):① ,② .分析:本小題是個(gè)開(kāi)放性題目,可以從以下幾點(diǎn)性質(zhì)來(lái)考慮①增減性②圖象的形狀③ 最值④自變量取值范圍⑤交點(diǎn)等.解:相同點(diǎn):①圖象都是曲線,②都經(jīng)過(guò)(1,2)或都經(jīng)過(guò)(2,1)。不同點(diǎn):①圖象形狀不同,②自變量取值范圍不同,③一個(gè)有最大值,一個(gè)沒(méi)有最大值. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì),有關(guān)函數(shù)開(kāi)放性題目是近幾年命題的熱點(diǎn).4. 二次函數(shù)的應(yīng)用例 5 已知拋物線 y=x2+(2k+1)xk2+k,(1)求證:此拋物線與 x 軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).2(2)設(shè) xx2 是此拋物線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),且滿足 x12+x 2=2k2+2k+1.①求拋物線的解析式.②設(shè)點(diǎn) P(m1,n1)、Q(m2,n2)是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn), 且關(guān)于此拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱. 求 m+m 的值.分析:(1)欲證拋物線與 x 軸有兩個(gè)不同交點(diǎn),可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,故令 y=0,證△0 即可.(2)①根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x ,求出 k 的值,可確定拋物線解析式。 ②由 P、Q 關(guān)于此拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱得 n1=n2, 由 n1=m12+m1,n2=m22+m2 得 m12+m1=m22+m2,即(m1m2)(m1+m2+1)=0 可求得 m1+m2= 1.解:(1)證明:△=(2k+1)24(k2+k)=4k2+4k+1+4k24k=8k2+1.∵8k2+10,即△0,∴拋物線與 x 軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn). (2) ①由題意得 x1+x2=(2k+1), x1 x2=k2+k.∵x1 2+x2 2=2k2+2k+1,∴(x1+x2)22x1x2= 2k2+2k+1, 即(2k+1)22(k2+k)=2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k22k= 2k2+2k+1.∴8k2=0, ∴k=0,∴拋物線的解析式是 y=x2+x.②∵點(diǎn) P、Q 關(guān)于此拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,∴n1=n2.2又 n1=m12+m1,n2=m 2+m2.2∴m12+m1=m 2+m2,即(m1m2)(m1+m2+1)=0.∵P、Q 是拋物上不同的點(diǎn),∴m1≠m2,即 m1m2≠0.∴m1+m2+1=0 即 m1+m2=1.點(diǎn)評(píng):本題考查二次函數(shù)的圖象(即拋物線)與 x .二次函數(shù)對(duì)應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1. 二次函數(shù) y = x2 4x 7 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）2. 把拋物線 y = 2x2 向上平移 1 個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）A. y = 2(x +1)2B. y = 2(x 1)2C. y = 2x2 +1D. y = 2x2 1 y = kx2 k 和 y = k (k 185。 0) 在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的( )x y = ax2 + bx + c(a 185。 0) 的圖象如圖所示,則下列結(jié)論: ①a,b 同號(hào)。② 當(dāng) x = 1和 x = 3時(shí),函數(shù)值相等。③ 4a + b = 0 ④當(dāng) y = 2時(shí), x 的值只能取 0.其中正確的個(gè)數(shù)是( ) 個(gè) 個(gè) C. 3 個(gè) 個(gè) y = ax2 + bx + c(a 185。 0) 的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的兩個(gè)根分別是 x1 = x2 =（ ）Ａ． 6. 已知二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖象如圖所示，則點(diǎn)(ac, bc) 在（ ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 2x x2= 2x 的正根的個(gè)數(shù)為（ ） 個(gè) 個(gè) 個(gè). 3 個(gè) A(2,0),B(1,0),與 y 軸交于點(diǎn) C,且 OC=A. y = x2 x 2 B. y = x2 + x + 2C. y = x2 x 2 或 y = x2 + x + 2 D. y = x2 x 2 或 y = x2 + x + 2二、填空題9．二次函數(shù) y = x2 + bx + 3 的對(duì)稱軸是 x = 2 ，則b = ?。10．已知拋物線 y=2（x+3）178。+5，如果 y 隨 x 的增大而減小，那么 x 的取值范圍是 11．一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過(guò)點(diǎn)（－1，2），②當(dāng) x＜0 時(shí)，函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 （只寫(xiě)一個(gè)即可）。12．拋物線 y = 2(x 2)2 6 的頂點(diǎn)為 C，已知直線 y = kx + 3過(guò)點(diǎn) C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 。13. 二次函數(shù) y = 2x2 4x 1的圖象是由 y = 2x2 + bx + c 的圖象向左平移 1 個(gè)單位,再向下平移 2 個(gè)單位得到的,則 b= ,c= 。14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在線段 AB 上離中心 M 處 5 米的地方，橋的高度是 (π取 ).三、解答題：
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