圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題(編輯修改稿)
2025-07-19 23:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 7. 三角形的內(nèi)切圓（1）有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形；（2）作圖：作一個(gè)圓，使它和已知三角形的各邊都相切。［例題分析］ 例6. 已知：如圖6，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CG切⊙O于D，DE⊥AB于E。圖6求證：∠CDB＝∠EDB。分析：由AB是⊙O的直徑，聯(lián)想到直徑的三個(gè)性質(zhì)：圖6－1 圖6－2圖6－3（1）直徑上的圓周角是直角。若連結(jié)AD，則得Rt△ABD；（2）垂徑定理。如圖6－2，若延長(zhǎng)DE交⊙O于F，則可得DE＝EF，；（3）過(guò)直徑外端的切線與直徑垂直。如圖6－3，若過(guò)B點(diǎn)作⊙O的切線BM，則AB⊥BM。 由CD是⊙O的切線，聯(lián)想到切線的三個(gè)性質(zhì)：（1）過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于切線。如圖6－1，若連結(jié)OD，則OD⊥CD；（2）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。若連結(jié)AD，則∠CDB＝∠A；（3）切割線定理。如圖6，CD2＝CBCA。由DE⊥AB于E，聯(lián)想到以下一些性質(zhì)：（1）Rt△DEB中兩銳角互余，即∠EDB＋∠EBD＝90176。；（2）垂徑定理。如圖6－2，只要延長(zhǎng)DE交⊙O于F，則可得到相等的線段，相等的??；（3）構(gòu)造與射影定理相關(guān)的基本圖形。即連結(jié)AD，則可得到△ADB是直角三角形，DE是斜邊上的高，又可得到兩對(duì)相等的銳角，三個(gè)相似的三角形，還可運(yùn)用射影定理、勾股定理、面積公式等。證明：連結(jié)AD，如圖6，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90176。 ∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠A ∵CD是⊙O的切線，∴∠CDB＝∠A，∴∠CDB＝∠EDB此例題還有許多證法，比如連結(jié)OD，如圖6－1，利用切線的定義；又比如延長(zhǎng)DE交⊙O于F，連結(jié)BF，如圖6－2，利用垂徑定理；還可以過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CD于點(diǎn)M，如圖6－3，利用切線長(zhǎng)定理，等等，這諸多證法，讀者不妨試證之。小結(jié)：此例題證明∠CDB＝∠EDB，即證明BD是∠CDE的平分線，由此證明可以聯(lián)想到AD也是∠GDE的平分線。 另外，通過(guò)對(duì)此例題的分析和證明可知，圖6－4中隱含著很多圖形的性質(zhì)，如相等的銳角、相等的線段、相等的弧及相似三角形等等，為此可將圖6－4分解成三個(gè)基本圖形。如圖6－5，以利于進(jìn)一步理解線段之間的比例關(guān)系。圖6－4圖6－5例7. 已知：如圖7，點(diǎn)P是半圓O的直徑BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，PC切半圓于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的長(zhǎng)。圖7 證明：連結(jié)CB ∵PC切半圓O于C點(diǎn)，∴∠PCA＝∠B ∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB ∴AC：BC＝PA：PC ∴ ∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90176。 又∵CD⊥AB ∴ ∴AB＝AD＋DB＝5 ∵ ∴ 例8. 已知：如圖8，在Rt△ABC中，∠B＝90176。，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D。圖8求證：（1）AC是⊙D的切線； （2）AB＋EB＝AC分析：（1）欲證AC與⊙D相切，只要證圓心D到AC的距離等于⊙D的半徑BD。因此要作DF⊥AC于F（2）只要證AC＝AF＋FC＝AB＋EB，證明的關(guān)鍵是證BE＝FC，這又轉(zhuǎn)化為證△EBD≌△CFD。 證明：（1）如圖8，過(guò)D作DF⊥AC，F(xiàn)為垂足 ∵AD是∠BAC的平分線，DB⊥AB，∴DB＝DF ∴點(diǎn)D到AC的距離等于圓D的半徑 ∴AC是⊙D的切線 （2）∵AB⊥BD，⊙D的半徑等于BD， ∴AB是⊙D的切線，∴AB＝AF ∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD ∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC ∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個(gè)類型，若要判定的直線與已知圓有公共點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒(méi)有給出，可采用“過(guò)圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類 例9. 已知：如圖9，AB為⊙O的弦，P為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PE與⊙O相切于點(diǎn)E，C為中點(diǎn)，連CE交AB于點(diǎn)F。圖9求證：分析：由已知可得PE2＝PAPB，因此要證PF2＝PAPB，只要證PE＝PF。即證∠PFE＝∠PEF。證明一：如圖9，作直徑CD，交AB于點(diǎn)G，連結(jié)ED， ∴∠CED＝90176。 ∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D ∵PE為⊙O切線，E為切點(diǎn) ∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG ∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF ∵PE2＝PAPB，∴PF2＝PAPB 證明二：如圖9－1，連結(jié)AC、AE圖9－1 ∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴∠CAB＝∠AEC ∵PE切⊙O于點(diǎn)E，∴∠PEA＝∠C ∵∠PFE＝∠CAB＋∠C
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