高二圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與例題(編輯修改稿)
2024-08-20 12:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 巧而已(因?yàn)椋\(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)直線斜率不存在是,則.六、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=。高二圓錐曲線例題分析例是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是 ．解：. ≤例 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程．解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，∴，，∴，∴為所求．例3 設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)A、B，AB中點(diǎn)M（1，2），求直線AB方程；解：方法一：顯然AB斜率存在設(shè)AB：y2=k(x1) 由得：(2k2)x22k(2k)xk2+4k6=0當(dāng)△0時(shí)，設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2） 則∴ k=1，滿足△0∴ 直線AB：y=x+1 法二：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）則兩式相減得：(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2) ∵ x1≠x2∴ ∴ ∴ AB：y=x+1代入得：△0評(píng)注：法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點(diǎn)差法，當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，常用這兩種途徑處理。在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢驗(yàn)條件△0是否成立。例4. 橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，e=，過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此橢圓的方程.解:設(shè)橢圓方程為+=1,(ab0)⑴PQ⊥x軸時(shí)，F(xiàn)(c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2c2,∴e2+e1=0,∴e=與題設(shè)e=不符,所以PQ不垂直x軸.⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,所以橢圓方程可化為:3x2+12y24c2=0,將PQ方程代入，得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c24c2=0,∴x1+x2=,x1x2=由|PQ|=得=①∵OP⊥OQ,∴= 1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②把，代入，解②得k2=，把代入①解得c2=3∴a2=4,b2
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