圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題-展示頁
2025-07-01 23:13本頁面
【正文】 圖2分析：因?yàn)榛∨c垂徑定理有關(guān)；與圓心角、圓周角有關(guān)；與弦、弦心距有關(guān)；弧與弧之間還存在著和、差、倍、半的關(guān)系，因此這道題有很多解法，僅選幾種供參考?！螧＝25176。＝2htan n176。 說明：如圖1，一般地，若∠AOB＝2n176。＝cos∠AON＝OM ②∵半徑OM⊥AB，且∠AOB＝120176。 ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 解：①∵AB＝，半徑OM⊥AB， 求MN的長。 ①若AB＝，ON＝1，求MN的長； 例1. 已知：如圖1，在⊙O中，半徑OM⊥弦AB于點(diǎn)N。 符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡。 ※8. 軌跡 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。 推論3 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90176。 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等； 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半； 6. 圓周角 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。 此定理和推論可以理解成：在同圓或等圓中，滿足下面四個(gè)條件中的任何一個(gè)就能推出另外三個(gè)：①兩個(gè)圓心角相等；②兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等；③兩個(gè)圓心角或兩條弧所對(duì)的弦相等；④兩條弦的弦心距相等。 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。 定理 推論2 垂徑定理及推論1 可理解為一個(gè)圓和一條直線具備下面五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出另外三個(gè)：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（不是直徑）；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧。 （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。 （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??； 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??； 4. 垂直于弦的直徑 不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。 圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形； 2. 圓的對(duì)稱性 圓的內(nèi)接三角形、三角形的外接圓、三角形的外心、圓內(nèi)接多邊形、多邊形的外接圓；圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的外角。 圓、圓心、半徑、圓的內(nèi)部、圓的外部、同心圓、等圓；圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（一）圓的有關(guān)性質(zhì)［知識(shí)歸納］ 1. 圓的有關(guān)概念： 弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸； 圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。 3. 圓的確定 垂徑定理 推論1 （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧； 圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 5. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等；所對(duì)的弦的弦心距相等。 推論 定理 推論1 推論2的圓周角所對(duì)的弦是直徑； 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。 7. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)軌跡（1）平面內(nèi)，到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；（2）平面內(nèi)，和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線；（3）平面內(nèi)，到已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線。［例題分析］圖1 ②若半徑OM＝R，∠AOB＝120176。 ∴AN＝BN＝ ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ∴∠AOM＝60176。 ∵ON＝OAcos60176。 ∴OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，則AB＝2Rsin n176。＝ 例2. 已知：如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90176。以點(diǎn)C為圓心、AC為半徑作⊙C，交AB于點(diǎn)D，求的度數(shù)。解法一：（用垂徑定理求）如圖2－1，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F。 ∴∠B＝25176?！嗟亩葦?shù)為50176。 解法二：（用圓周角求）如圖2－2，延長AC交⊙C于點(diǎn)E，連結(jié)ED圖2－2∠B＝25176。 ∵∠ACB＝90176?！唷螦＝65176。 ∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65176。 ∴∠ACD＝50176。析：因?yàn)椴恢馈螦是銳角還是鈍角，因此圓心有可能在三角形內(nèi)部，還可能在三角形外部，所以需分兩種情況進(jìn)行討論。如圖3，由AB＝AC，可知點(diǎn)A是優(yōu)弧的中點(diǎn)，因?yàn)镺D⊥BC且AB＝AC，根據(jù)垂徑定理推論可知，DO的延長線必過點(diǎn)A，連結(jié)BO ∴ ∴ 圖3
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