[考研數(shù)學(xué)]高等數(shù)學(xué)訓(xùn)練之無(wú)窮級(jí)數(shù)(已修改)
2025-08-29 03:32 本頁(yè)面
【正文】 第五講 無(wú)窮級(jí)數(shù)167。1 概念及其性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)）：，稱為第項(xiàng)式通項(xiàng)一般項(xiàng)。為的前項(xiàng)和。定義：若（有限數(shù)），則稱級(jí)數(shù)收斂，為其和，即； 若不存在，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。例1：判別下列級(jí)數(shù)的斂散性，收斂時(shí)求其和。（1）； （2）； （3）；提示：將通項(xiàng)寫(xiě)成兩項(xiàng)差的形式，即。解：（1）； 發(fā)散。 （2）； 。 （3） 。性質(zhì)： ① 設(shè)為常數(shù)，則與具有相同的斂散性； ② 設(shè)，則； 設(shè)收斂，發(fā)散，則發(fā)散； 設(shè)與均發(fā)散，則具體分析。 ③ 去掉或添加有限項(xiàng)不影響其斂散性，但收斂時(shí)其和可能要改變； ④ 設(shè)收斂，則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍然收斂于原級(jí)數(shù)的和； 設(shè)有一個(gè)，若對(duì)各項(xiàng)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散；若對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)后收斂，則原級(jí)數(shù)斂散性要具體分析。 ⑤ 級(jí)數(shù)收斂的必要條件：。 必要條件的應(yīng)用： ⑴ 判別發(fā)散； 例如：，發(fā)散。 ⑵ 求特殊極限：例2：求極限： 解：構(gòu)造一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：；收斂，故=0。167。2 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一． 正項(xiàng)級(jí)數(shù)：（）的判別法：⑴ 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法：一般形式，設(shè)為常數(shù)，若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散；簡(jiǎn)言之，小于收斂的一定收斂，大于發(fā)散的一定發(fā)散。極限形式：設(shè)，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若：?。┊?dāng)時(shí)，收斂收斂；ⅱ）當(dāng)時(shí)，發(fā)散發(fā)散；由以上可以得到簡(jiǎn)潔
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