[考研數(shù)學(xué)]高等數(shù)學(xué)訓(xùn)練之無(wú)窮級(jí)數(shù)(專業(yè)版)
【正文】 167。ⅱ）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的求法：① 用比值法：或；② 令得出收斂區(qū)間，設(shè)為；③ 令，原函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；令，原函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。常用比較的級(jí)數(shù)：?。缀渭?jí)數(shù)：；ⅱ）級(jí)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散。定義：若（有限數(shù)），則稱級(jí)數(shù)收斂，為其和，即； 若不存在，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。 必要條件的應(yīng)用： ⑴ 判別發(fā)散； 例如：，發(fā)散。三． 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)（可正，可負(fù)，可0）：定義：若收斂，則稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)；若發(fā)散，而收斂，則稱為條件收斂；：設(shè)收斂，則必收斂；：設(shè)條件收斂，則由該級(jí)數(shù)的所有正項(xiàng)和所有負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的兩個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散；注意：若用比值法或根值法判別發(fā)散，則一定發(fā)散。例9：設(shè)，則的收斂半徑為：[ ]； 解：原級(jí)數(shù)，所以：；例10：求下列級(jí)數(shù)的收斂域，收斂半徑。例15：求的和 解：； ； ； 故：=5。：（阿貝爾）設(shè)有冪級(jí)數(shù)，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 。 （3） 當(dāng)，不，發(fā)散； 當(dāng)時(shí)，收斂，收斂； 當(dāng)時(shí)，發(fā)散； （4） 收斂，收斂； （5）， 故收斂；復(fù)習(xí)：當(dāng)時(shí)，的速度越來(lái)越快。 ③ 去掉或添加有限項(xiàng)不影響其斂散性，但收斂時(shí)其和可能要改變； ④ 設(shè)收斂，則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍然收斂于原級(jí)數(shù)的和； 設(shè)有一個(gè)，若對(duì)各項(xiàng)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散；若對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)后收斂，則原級(jí)數(shù)斂散性要具體分析。（1
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