數(shù)學(xué)畢業(yè)論文_淺談數(shù)列求和的若干方法(編輯修改稿)
2024-09-29 12:40 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 anaaaaSnnnnn ? ???????????? 4． 倒 序相加法 如果一個(gè)數(shù)列與首末兩項(xiàng)等距的 兩項(xiàng) 之和等于兩項(xiàng)之和，可采用正著寫(xiě)與 倒 著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和 . 例 5 已知 ??na 為等差數(shù)列，求 1 2 3 na a a a? ? ? ? 解：令 1 2 3nnS a a a a? ? ? ? ? 將上式中各項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái)就得到： 1 2 1n n n nS a a a a??? ? ? ? 上兩式相加的 ? ? ? ? ? ?1 2 1 12 n n n nS a a a a a a?? ? ? ? ? ? 內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)年論文 5 由等差數(shù)列性質(zhì)得： 1 2 1 1n n na a a a a a?? ? ? ? ? ? 所以得 ? ?12 nnS n a a?? 所以 ? ?12 nn n a aS ?? 例 6 求和： nnnn nCCC 363 21 ??? ? . 解：令 .39630 3210 nnnnnnn nCCCCCS ?????? ? 將上式中各項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái)，得： .03)2(3)1(33 0121 nnnnnnnnn CCCnCnnCS ???????? ?? ? 上述 2 式左右兩邊分別相加，并利用 knnkn CC ?? ，得 .23)(32 1210 nnnnnnnnn nCCCCCnS ???????? ?? 所以 123 ??? nn nS 5． 通項(xiàng)分析法 對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)求和或變形，進(jìn)行分析，從而決定使用哪種方法求和 . 例 7 求數(shù)列 1， 2aa? ， 432 aaa ?? ， ?? 43 aa 65 aa? ， ? 的前 n 項(xiàng)和 nS ，（ 0?a ） 解：當(dāng) a =1 時(shí)， .kak ? 則 )1(21 ?? nnSn 當(dāng) 1??a 時(shí)， 0?ka ，（ k 為偶數(shù)）和 1?ka ，（ k 為奇數(shù)） 可見(jiàn) ]2 )1(1[21 nS nn ???? 當(dāng) |a | 1? 時(shí)， aaaa kkk ?????1 121 ， 所以 )]()()()1[(1 1 121523 ?? ?????????? nnn aaaaaaaaS ? = )]()1[(1 1 125312 ?? ?????????? nn aaaaaaaa ?? 內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)年論文 6 = )]1)(1[()1()1( 11 )1(11[1 1 1222 ???????????? nnnn aaaaaaaaaa 6． 待定歸納 法 解決與自然數(shù)有關(guān)的某一問(wèn)題，首先應(yīng)對(duì)結(jié)論的代數(shù)形式做一個(gè)正確推測(cè)，并將結(jié)論用待定系數(shù)設(shè)出來(lái)，隨之令其 滿(mǎn)足數(shù)學(xué)歸納法的各個(gè)步驟，從中得到得到待定系數(shù)的方程，求出待定系數(shù)，即可使問(wèn)題得解 . 例 8 求數(shù)列 221? ， 243? ， 265? ， ， ? ?22 2 1nn? 的前 n 項(xiàng)和 nS 因?yàn)閿?shù)列 ? ? 2 322 2 1 8 8 2na n n n n n? ? ? ? ?它是關(guān)于 n 的多項(xiàng)式 ，與之類(lèi)似的數(shù)列求和問(wèn)題我們熟悉的有 ⑴ ? ? 21 3 5 2 1nn? ? ? ? ? ? ⑵ ? ? ? ?? ?11 2 2 3 1 1 23n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶ ? ?23 3 3 3 211 2 3 14n n n? ? ? ? ? ? 以上各式中，左端的通項(xiàng)公式及右端的和展開(kāi)后都是關(guān)于 n 的多項(xiàng)式，對(duì)其次數(shù)進(jìn)行比較便可得到這樣的結(jié)論：若數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式是關(guān)于 n 的多項(xiàng)式，則其前 n 項(xiàng)和是比通項(xiàng)公式高一次的多項(xiàng)式，對(duì)本題而言，因?yàn)橥?xiàng)公式 ? ?2 322 2 1 8 8 2na n n n n n? ? ? ? ? 是關(guān)于 n 的三次 多項(xiàng)式，所以我們猜想該數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 nS 是關(guān)于 n 的四次多項(xiàng)式，故可設(shè) 432nS A n B n C n D n E? ? ? ? ? 即 1n? ， nk? ， 1nk??時(shí)上式均成立，有 1 2S A B C D E? ? ? ? ? ? 432kS A k B k C k D k E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 3 21 1 1 1 1kS A k B k C k D k E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ?4 3 21 4 6 3 4 3 2kS A k A B k A B C k A B C D k A B C D E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)年論文 7 又因?yàn)?11k k kS S a???? 所以 ? ? ? ? ? ?4 3 21 8 1 6 1 0 2kS A k B k C k D k E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 比較上兩式同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)可得 486 3 164 3 2 102AAA B BA B C CA B C D DA B C D E E??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 解方程得 2A? , 43B? , 1C?? , 13D?? , 0E? 故 4 3 2412 33nS n n n n? ? ? ? 7． 裂項(xiàng)法 顧名思義，裂項(xiàng)法就是把數(shù)列的項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，然后相加時(shí)各項(xiàng)相消，達(dá)到求和目的的一種方法 .通項(xiàng)分解如： ⑴ ? ? ? ?1na f n f n? ? ? ⑵ ? ?1 1 111na n n n n? ? ??? ⑶ ? ?? ?? ?22 1 1 112 1 2 1 2 2 1 2 1n na n n n n??? ? ? ???? ? ? ??? ⑷ ?
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