冪級數(shù)求和函數(shù)方法概括與總結(jié)(參考版)
2025-06-03 12:21本頁面
【正文】 從中我們可以得到啟示，做題時(shí)自己的想法不能太單一、閉塞，所謂條條大路通羅馬，要敢于嘗試，相信肯定會(huì)有一種相對比較適合的方法的。例10：求冪級數(shù)和函數(shù) 其中 解：令 其中 所以 以上三式相加得 這是一個(gè)滿足初始條件的二階常系數(shù)的線性微分方程，解此微分方程得從而 例11：求 的和函數(shù) 。如果遇到通項(xiàng)系數(shù)是以 n 為自變量的有限次多項(xiàng)式的冪級數(shù)，那么就可以嘗試使用差分算子求和法對其進(jìn)行求解。（五）柯西方法、差分算子求和法，這兩種方法的適用條件比較明顯。同樣對于微分方程法，所求冪級數(shù)的一般項(xiàng)中通常含有階乘因子，使用之前先對原來的和函數(shù)做一定的變形，求其一階導(dǎo)數(shù)、必要時(shí)還要求其二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)，將所得結(jié)果與原來和函數(shù)聯(lián)列。（四）代數(shù)方程法，看到所求冪級數(shù)時(shí)，要仔細(xì)觀察相鄰兩項(xiàng)之間是否存在有明顯的關(guān)系，比如：前后兩項(xiàng)之間只相差一個(gè)倍數(shù)，前一項(xiàng)乘以自變量、自變量的倍數(shù)或自變量的冪得到后一項(xiàng)。如果開始比較復(fù)雜無從下手，可以試著進(jìn)行逐次求導(dǎo)、逐次積分、先求導(dǎo)再積分、先積分再求導(dǎo)，經(jīng)過幾次運(yùn)算以后可以變成比較簡單、容易求和的級數(shù)的話，那么先求出新級數(shù)的和，接著再做與之前所做的相反的運(yùn)算就可以得出原來的級數(shù)的和函數(shù)。（三）逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分法，這一方法使用起來比較簡單。如果發(fā)現(xiàn)了一題中存在不止一種規(guī)律，那么就把符合同一種規(guī)律的各項(xiàng)組合在一起進(jìn)行分別計(jì)算，最終再聯(lián)列得出所求級數(shù)的和函數(shù)。（二）分項(xiàng)組合法特點(diǎn)：要運(yùn)用這一方法我們首先要對所求冪級數(shù)的各項(xiàng)進(jìn)行細(xì)心的觀察。但是問題在于，對于一些通項(xiàng)比較復(fù)雜的冪級數(shù)，冪級數(shù)部分和數(shù)列的極限很難求出，則此方法就會(huì)失效。若為任意實(shí)函數(shù)，為差分算子，則定義函數(shù)的一階差分為 階差分為 定理[6] ：設(shè)為次多項(xiàng)式，則當(dāng)時(shí)收斂，而且其和函數(shù) 定理證明：當(dāng)時(shí)，冪級數(shù) 收斂，現(xiàn)在定義單位算子及位移算子分別為 則 即由于 所以 例9：求冪級數(shù) 的和函
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