數(shù)列求和方法總結(jié)(參考版)
2024-11-12 00:11本頁面
【正文】 特級教師:/8320王新敞源頭學(xué)子小屋 點 評 ：設(shè) ??na 是等差數(shù)列， ??nb 是等比數(shù)列，對形如 ? ?nnab 的數(shù)列，可以用錯位相減法求和． 應(yīng)用知識點 ：錯位相減法轉(zhuǎn)化求和式 . 4. 倒序相加法 這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n 個 )( 1 naa? . 例 5. 求 ????? 89s i n88s i n3s i n2s i n1s i n 22222 ???????? 的值 解：設(shè) ????? 89s i n88s i n3s i n2s i n1s i n 22222 ?????????S …………. ① 將①式右邊反序得： ????? 1s i n2s i n3s i n88s i n89s i n 22222 ?????????S …… ② 又因為 1co ssin),90co s(sin 22 ???? xxxx ? ，① +②得 ： )89c o s89( s i n)2c o s2( s i n)1c o s1( s i n2 222222 ?????? ??????????S ＝ 89 ∴ S＝ 點評 ：倒序相加法，適用于倒序相加后產(chǎn)生相同的結(jié)果，方便求和 . 應(yīng) 用知識點 ：倒序相加法 . （二） 不可轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列的數(shù)列求和 1 裂項 相消 法求和 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的 . 通項分解（裂項）如： 例 1. 求數(shù)列 ?????????? ,11,32 1,21 1 nn的前 n 項和 . 解：設(shè) nnnna n ?????? 111，則 1132 121 1 ??????????? nnS n )1()23()12( nn ??????????＝ 11??n 例 {an}中， 11211 ?????????? n nnnan，又12??? nnn aab，求數(shù)列 {bn}的前 n 項的和 . 解： ∵ 211211 nn nnnan ??????????? ∴ )111(82 12 2 ?????? nnnnb n ?數(shù)列 {bn}的前 n 項和： )]111()4131()3121()211[(8 ????????????? nnS n ＝ )111(8 ??n ＝ 18?nn 例 3. 求證：???????? 1s i n 1c os89c os88c os 12c os1c os 11c os0c os 1 2??????? 7 解：設(shè)?????? 89c os88c os 12c os1c os 11c os0c os 1 ???????S s in 1 ta n ( 1 ) ta nc o s c o s ( 1 ) nnnn ? ? ?? 1 1 1c o s 0 c o s 1 c o s 1 c o s 2 c o s 8 8 c o s 8 9S? ? ? ? ??? ? ＝ ]}88t a n89[t a n)2t a n3(t a n)1t a n2(t a n)0t a n1{ (t a n1s i n1 ????????? ??????? ＝ )0ta n89(t a n1sin1 ??? ?＝ ?? 1cot1sin1 ?＝??1sin1cos2 ∴ 原等式成立 應(yīng)用知識點 ： 如果數(shù)列 ??na 的通項具有如下形式，則可以 利用裂項法求和： （ 1） )()1( nfnfa n ??? ； (如2 1log ,n na n?? 11na nn?
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