【正文】 [8]：[9]：Series (mathematics)[10]：Taylor series第 36 頁 共 43 頁 。[6]：沈世云，鄧志穎，重慶郵電大學數(shù)理學院，中國，重慶，400065，科技信息，2012 年 第 27 期。（下月刊）。[2]: 李正元，李永樂，袁蔭棠，數(shù)學復習全書，國家行政學院出版社，2012年2月北京第3版[3]：；[4]：華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006年6月16日.[5]：和珍珍，王超。今天我即將離校，母校將永遠烙印在我的心里。有他們，我有了快樂，有他們，我對世界有了新認識?；仡櫵哪陙淼脑谛Ｉ睿蠋煹亩髑椴辉谙嗵幎嗑?，重要的是曾經擁有。感謝她對我的監(jiān)督和感情的支持，她給了我動力。我想說不僅僅是因為我自己得到了張老師的幫助和關懷，更為其他同學得到張老師的幫助，對張老師表示深深的感謝和崇高的敬意.于此同時,論文的順利完成,同樣離不開我們的全體成員，在我遇到問題的時候有他們的感情支持，有他們的技術支持。但是，我也有種自古悲傷多別離得感觸！在沒有寫論文之前，對寫論文有種神秘的感覺，從來沒想象過會如此的復雜和繁瑣。 ，若容易求和，則此方法好用，若，為n的多項式并且含有因子n更好求出. 由前面定理06可知：和號同求導運算可以交換, 它也稱為逐項微分的定理. 但要注意的是, 僅僅在條件“一致收斂”之下, 即使存在且連續(xù), 也不能保證和號同求導數(shù)號可以交換.例 求數(shù)項級數(shù)的和. 解：構造冪級數(shù)，.設它的和函數(shù)是，即.由冪級數(shù)可逐項可導，有 ，有 .因為， .令，有 例 求級數(shù). 解：令 ,逐項求導得 ,所以 .因為級數(shù)在處收斂, 所以 ,即 . 逐項積分求和 ，當為多項式時，應分解為等式子的組合.由Abel第二定理：若冪級數(shù)的收斂半徑，只需求在內的和函數(shù)，令，取極限，則.例 計算 解：由于而的收斂半徑為1，且在收斂，令，在等式兩端取極限，有 即 . .例 求級數(shù)的和. 解：令, 其收斂域為, 在收斂域內逐項積分得其中, 于是 . 轉化為已知的特殊的冪級數(shù)求和 要點：這種方法的基本思想是: 將待求和的級數(shù)用一些已知級數(shù)來表示, 通過代入已知級數(shù)求得待求級數(shù)的和. 以下運用例子來說明該方法.例 求級數(shù)的和. 解:設,將展開為泰勒級數(shù)得: 則 例 求. 解：原式可以用級數(shù)表示如下 .考慮級數(shù), 其收斂半徑為1, 故當時收斂, 設其和函數(shù)為, 下面在區(qū)間內求. 由于 ,所以 令, 即得.四 致謝 此刻開始書寫致謝，內心可謂百味具雜，致謝寫完，意味著大學生活即將告終！即便平時非常淡定的同學，我想此刻他們的心情亦波亦涌。 求級數(shù)的和 解：由Lcibniz判別法知此級數(shù)是收斂的，即存在現(xiàn)在取部分和數(shù)列中足標為偶數(shù)的子列因此 熟知公式： 其中，為著名的Eurler常數(shù)，利用這個公式得 所以，故值得指出的是部分和子列對非正項級數(shù)常常是行之有效的。 求 解：構造冪級數(shù)，顯然其收斂域為，設,于是得到一階線性微分方程 其通解為 [7] 利用遞推法求常數(shù)項級數(shù)的和 求級數(shù)的和，m為某自然數(shù) 分析：利用遞推法求出的表達式 解：因為所以 (*)把（*）中的m依次用代替得用依次乘上式，然后兩邊相加，得 故[8] 部分和子列 要點：先獲知級數(shù)收斂，再取級數(shù)部分和的某一子列，然后求出此子列的極限即得級數(shù)和。 解：取 則 可見此方法關鍵之處在于數(shù)列的構造選取。② 用均收斂。 (7)將（7）中的x換成x1后得到函數(shù)在x=1處的泰勒展開式： (8)對(6)式兩邊求導，可得 (9)對(7)式兩邊求導，可得 (10)把(7)式中的x換成，可得 (11)把(10)式中的x換成，可得 (12)對上式從0到x積分，可得 (13)04：下面我們總結概括一下冪級數(shù)和函數(shù)的有關性質 設冪級數(shù)的和函數(shù)為，收斂半徑為R，則有下列命題成立① 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間是連續(xù)的；② 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間有連續(xù)的導數(shù)，并且可以逐項求導，即對于任意的，有 ，逐項求導后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)具有相同的收斂半徑；③ 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間可積，并且可以逐項積分，即對于任意的，有 ，逐項求導后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)具有相同的收斂半徑； 求冪級數(shù)的和函數(shù)主要是利用已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式比如上的那些間接法，結合逐項求導，逐項積分求出冪級數(shù)的和函數(shù)。因有限，而是收斂級數(shù)的一般項，所以當時，即當時，有，于是得展開式 (5)例2：將函數(shù)展開成x的冪級數(shù) 解：所給函數(shù)的各階導數(shù)為順序循環(huán)地取于是得級數(shù) ，他的收斂半徑對于任何有限的數(shù)，余項的絕對值當時的極限為零： 因此得展開式 (6) 以上將函數(shù)展開成冪級數(shù)的例子，是直接按公式計算冪級數(shù)的系數(shù)，最后考察余項是否收斂于0，這種直接展開的計算量比較大，而且研究余項即使在初等函數(shù)中也不是一件容易的事情，下面介紹間接展開的方法，這就是利用一些已知的函數(shù)展開式，通過冪級數(shù)的運算（如四則運算，逐項求導，逐項積分）以及變量代換等，將所給函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣不但計算簡單而且可以避免研究余項03：間接法例3： 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)解：函數(shù)的各階導數(shù)是 從而 所以f的邁克勞林級數(shù)是用比值判別法容易求得該級數(shù)的收斂半徑，且當時收斂，當時發(fā)散，故該級數(shù)的收斂域是，現(xiàn)在討論在這收斂區(qū)間上他的余項的極限情形。如果為零，則函數(shù)在區(qū)間內的冪級數(shù)展開式為 例1：將函數(shù)展開成x的冪級數(shù) 解 所給函數(shù)的各階導數(shù)為因此這里于是得級數(shù)它的收斂半徑。第三步： 寫出冪級數(shù)： ，并求出收斂半徑R。 下面我們就一些常用的展開式進行探討02：直接法 要把函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，可以按照下列步驟進行；第一步： 求出的各階導數(shù)，...，...，如果在處的某階導數(shù)不存在，就停止進行。由上一節(jié)中的推論8可知：若f為冪級數(shù)在收斂區(qū)間（R，R）上的和函數(shù)，則就是f在（R，R）上的泰勒展開式，即冪級數(shù)展開式是唯一的。我們探討一下下面的定理定理01： 設f在點具有任意階導數(shù)，那么f在區(qū)間等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充分條件是：對一切滿足不等式的x，有 這里是f在處的泰勒公式余項。 學過泰勒定理我們曉得，若函數(shù)f在的某鄰域上存在直至n+1階的連續(xù)導數(shù)，則 (1)這里為拉格朗日型余項 (2)其中在x和之間，稱（1）為f在處的泰勒公式。當收斂時，由于在一致有界，且關于n單調，根據(jù)Abel判別法在上一致收斂。證： ① 記成立由于收斂，由Weierstrass判別法，可知在上一致收斂。若級數(shù)（2）在（R，R）上有和函數(shù)f，則冪級數(shù)（2）由f在點x=0處的各階導數(shù)所唯一確定。定理06：冪級數(shù)逐項積分，求導 設冪級數(shù)（2）在收斂區(qū)間（R，R）上的和函數(shù)為f，若x為（R，R）上任意一點，則① f在點x可導，且 ；② f在0與x之間的這個區(qū)間上可積，且