【正文】 ：一致收斂的柯西準(zhǔn)則 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為：對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)對(duì)一切，和一切正數(shù)p，都有 或定理03：一致收斂的充要條件 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件是 定理04：魏爾斯特拉斯判別法 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集D上，為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切有 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D上一致收斂。定理07：連續(xù)性 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其和函數(shù)在上也連續(xù)注：這個(gè)定理指出：在一致收斂條件下，（無限項(xiàng)）求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順序，即 定理08：逐項(xiàng)求積 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則 定理09：逐項(xiàng)求導(dǎo) 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上每一項(xiàng)都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，為的收斂點(diǎn)，且在上一致收斂，則 本篇將討論有冪級(jí)數(shù)序列產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ， （1）它稱為冪級(jí)數(shù)，是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從某種意義上說，他也可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸，下面將著重討論，即 ， (2)的情形，因?yàn)橹灰?2)中的x換成，即得到（1）。定理02：有關(guān)收斂半徑 對(duì)于冪級(jí)數(shù)（2）若】 則當(dāng)① 時(shí)，冪級(jí)數(shù)（2）的收斂半徑；② 時(shí)，冪級(jí)數(shù)（2）的收斂半徑③ 時(shí)，冪級(jí)數(shù)（2）的收斂半徑定理03：有關(guān)收斂半徑和一致收斂 若冪級(jí)數(shù)（2）的收斂半徑為，則冪級(jí)數(shù)（2）在他的收斂區(qū)間內(nèi)任意閉區(qū)間上都一致收斂。定理05：冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)① 冪級(jí)數(shù)（2）的和函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)；② 若冪級(jí)數(shù)（2）在收斂區(qū)間的左（右）端點(diǎn)上收斂，則其和函數(shù)也在這一端點(diǎn)上左（右）連續(xù)在討論冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積之前，先要確定冪級(jí)數(shù)（2）在收斂區(qū)間上逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分后所得到的函數(shù) (3)與 (4)的收斂區(qū)間定理05：冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 冪級(jí)數(shù)（2）與冪級(jí)數(shù)（3），（4）具有相同的收斂區(qū)間。推論07： 記f為冪級(jí)數(shù)（2）在收斂區(qū)間（R,R）上的和函數(shù)，則在（R,R）上f具有任何階導(dǎo)數(shù)，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)任何次，即 推論08： 記f為冪級(jí)數(shù)（2）在點(diǎn)x=0某鄰域上的和函數(shù)，則冪級(jí)數(shù)（2）的系數(shù)與f在x=0處的各階導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系： 這個(gè)推論表明?？赏C定理09定理09： 若冪級(jí)數(shù)（2）與（5）在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)相等，則他們的同次冪項(xiàng)的系數(shù)相等，即定理10： 若冪級(jí)數(shù)（2）與（5）的收斂半徑分別為和，則有 式中為常數(shù)，定理11：Abel第二定理 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，則① 在上內(nèi)閉一致收斂，即在任意閉區(qū)間上一致收斂；② 若在收斂，則在任意閉區(qū)間上一致收斂。 ② 先證明在上一致收斂。于是當(dāng)時(shí)，在上一致收斂；當(dāng)時(shí)，由①，在上一致收斂，結(jié)合在上的一致收斂性即得到在上一致收斂。如果在（1）中抹去余項(xiàng)，那么在點(diǎn)附近f可用（1）右邊的多項(xiàng)式來近似代替，如果函數(shù)f在處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時(shí)稱級(jí)數(shù) (3)為函數(shù)f在處的泰勒級(jí)數(shù)。如果f能在點(diǎn)的某鄰域上等于其泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)f在點(diǎn)的這一領(lǐng)域上可以展開成泰勒級(jí)數(shù)，并稱等式 (4)的右邊為f在處的泰勒展開式，或稱冪級(jí)數(shù)展開式。在實(shí)際應(yīng)用上，主要討論函數(shù)在處的展開式，這時(shí)(3)式可以寫作 稱為f的邁克勞林級(jí)數(shù)。第二步： 求出函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在的值： ，...，...。第五步： 利用余項(xiàng)的表達(dá)式，考察當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)時(shí)逇余項(xiàng)的極限是否為零。對(duì)于任何有限的數(shù)，余項(xiàng)的絕對(duì)值為 。① 當(dāng)時(shí)用拉格朗日型余項(xiàng)，有 ② 對(duì)于的情形，拉格朗日余項(xiàng)不易估計(jì)，改用柯西型余項(xiàng)，有因?yàn)?，故有即所?這就證得在上等于其邁克勞林級(jí)數(shù)。三 級(jí)數(shù)求和 一 我們先介紹一些簡(jiǎn)單易用的求和方法 根據(jù)定義求級(jí)數(shù)的和 ，部分和的項(xiàng)數(shù)無限增多，因此為了求的極限，下面我們通過例題加以介紹. 設(shè)，求級(jí)數(shù)的和. 分析：要尋求之和，只要將其部分和用已知級(jí)數(shù)部分和與已知數(shù)列表示出來. 解：因 ，則，于是 . 等差數(shù)列求和（首尾相加法） 等差級(jí)數(shù)為簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)類型，通過比較各項(xiàng)得到其公差，并運(yùn)用公式可求和. ，其中為首項(xiàng)，為公差 證明： ① ， ② ①+②得： 因?yàn)榈炔罴?jí)數(shù) 所以此證明可導(dǎo)出一個(gè)方法“首尾相加法”，此類型級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)各項(xiàng)逆置后與原級(jí)數(shù)四則運(yùn)算由首尾各項(xiàng)四則運(yùn)算的結(jié)果相同，便化為一簡(jiǎn)易級(jí)數(shù)求和. 求.解： ， ，兩式相加得：，即： .故原級(jí)數(shù)的和 等比數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法） 等比級(jí)數(shù)為簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)類型，通過比較各項(xiàng)得到其公比并運(yùn)用公式可求和.當(dāng)=1，；當(dāng)≠1，其中為首項(xiàng)，為公比. 證明：當(dāng)=1，易得，當(dāng)≠1， ① ， ② ，①②得 .可以導(dǎo)出一種方法“錯(cuò)位相減”，此方法通常適用于等差與等比級(jí)數(shù)混合型，通過乘以等比級(jí)數(shù)公比，再與原級(jí)數(shù)四則運(yùn)算后化為等差或等比級(jí)數(shù)求和. 計(jì)算.解： ① ， ② ，②①得： ，=3.故原級(jí)數(shù)的和 [5] 分組求和法 ① 此方法的原理：如果收斂，那么收斂，且，當(dāng)把級(jí)數(shù)分成兩個(gè)或多個(gè)（有限個(gè)）收斂級(jí)數(shù)的和時(shí)，注意一定要保證均收斂。 求無窮級(jí)數(shù)的和。[6] 微分方程法法 構(gòu)造冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)，通過求導(dǎo)運(yùn)算，得到滿足的微分方程，通過求解微分方程來求出和函數(shù)。我們簡(jiǎn)稱為部分和子列法。 裂項(xiàng)相消法 要點(diǎn)：設(shè), , 則的部分和為 .若 , 則 .也就是說 的和為 .我們稱上述求級(jí)數(shù)和的方法為裂項(xiàng)相消法. 利用裂項(xiàng)相消法求級(jí)數(shù)的和, 關(guān)鍵是怎樣將級(jí)數(shù)的通項(xiàng)拆成前后有抵消部分的形式, 通常經(jīng)過變形, 有理化分子或分母, 三角函數(shù)恒等變形等處理可達(dá)到裂項(xiàng)相消的目的. 以下用具體例子來進(jìn)行說明. 求無窮級(jí)數(shù)的和. 解：因?yàn)? , 所以 , 于是 .所以 . 如果一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是一個(gè)三角函數(shù)式, 則可考慮利用三角函數(shù)公式, 將其化簡(jiǎn)為兩式之差以便運(yùn)用裂項(xiàng)相消法. 求級(jí)數(shù) 的和. 解：先考慮變換問題的數(shù)學(xué)形式, 由 ,聯(lián)想到正切的差角公式 , 再設(shè) , 則原級(jí)數(shù)的部分和為所以 .如果一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是一個(gè)分母為若干根式之積的分式, 則可考慮將其分母或分子有理化以便運(yùn)用裂項(xiàng)相消法.二 利用冪級(jí)數(shù)的知識(shí)求和 若收斂，則有=，將轉(zhuǎn)化成，對(duì)求有如下兩種常用方法：逐項(xiàng)微分求和，逐項(xiàng)積分求和。我慶幸自己大學(xué)里學(xué)到了知識(shí)，我慶幸即將開始新的人生旅程。好在有張敬和老師的鼎力相助，非常感謝張老師的技術(shù)和知識(shí)的協(xié)助，在本人的撰寫過程中,從選題、編寫提綱、資料收集、撰寫、修改、最后定稿,指導(dǎo)老師都給予了具體的悉心指導(dǎo),付出了大量的心血。在我疲憊的時(shí)候，他們帶我玩游戲，我表示順利的學(xué)會(huì)了英雄聯(lián)盟，哈哈哈！在此同樣感謝我那遠(yuǎn)在安慶的女朋友，古影。在整個(gè)的論文寫作中,其他各位老師、同學(xué)和朋友積極的幫助我查資料和提供有利于論文寫作的建議和意見,給予了許多啟示和幫助，在他們的幫助下,論文得以不斷的完善,！不能一一詳述，敬請(qǐng)?jiān)?！同樣感謝這些年來培育我們的全院以及全校老師，雖然有些老師沒有給我直接的幫助，但是今天我可以寫論文的積淀來自他們無聲的支持。最后感謝保護(hù)，培育我四年的母校，認(rèn)識(shí)或者不認(rèn)識(shí)的校友，老師。我快樂的成長(zhǎng)在安工大的校園里。參考文獻(xiàn)[1]: 陳紀(jì)修，於崇華，金路，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版，2004年10月第二版。無窮級(jí)數(shù)求和的方法與技巧。文章編號(hào)：1672 7894（2010）15 098 02。[7]：安玉萍，無窮級(jí)數(shù)求和歸類在教學(xué)中的應(yīng)用，吉林建筑工程學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，長(zhǎng)春，130118， ，吉林建筑工程學(xué)