第七章無窮級數(shù)-在線瀏覽
2024-09-11 12:46本頁面
【正文】 0xexfxx????? ?? ??例 如() ( 0 ) 0 ( 0, 1 , 2, )nfn ??且() nnf x x x???? ?0在 =0 處 的 展 開 級 數(shù) 為 0( , )?? ??可見 , ( ) ( ) .x f x f x?除 0 外 的 展 開 級 數(shù) 處 處 不 收 斂 于在 x=0點任意可導 , 該級數(shù)在 內和函數(shù) 。R? ?00在 端 點 及 處 ， 如 果 級 數(shù) 收 斂 且也 有 定 義 ， 則 展 開 式 3 在 該 端 點 處 也 成 立 。 0把 初 等 函 數(shù) 展 開 成 的 冪 級 數(shù) 的 步 驟 ：()f x x x?0（ 1 ） 在 的 鄰 域 內 求 出 的 各 階 導 數(shù) ，()x f x0進 而 求 出 0 1 2 ，() ( ) ( , , , )kf x k ?并寫出展開式（ 3）； ? ?002 求 出 （ 3 ） 式 右 端 泰 勒 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 及 的任 意 階 導 數(shù) 的 存 在 區(qū) 間 ，( ) ( ),R f xx l x l??令 ，m in { , }r l R? ? ?00則 展 開 式 （ 3 ） 在 內 成 立 。()x x l x x l f x? ? ? ?0下 面 只 討 論 0的 情 形 。( ) ( ) ( )()x F t f x t F t tf x x x? ? ? ??? ?001當 0 時 ， （ 3 ） 式 化 為 0（ 4 ）()( ) ( )!,nnnx f x f xnx r r???????麥 克 勞 林 展 開 式4 式 稱 為 的 ，( ) ( )fx（ 4）式右端的級數(shù)稱為 麥克勞林級數(shù) 。 21112 ( , )!!xne x x x xn? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??為 初 等 函 數(shù) ，() xf x e?1 1 01lim lim ,nnnnaan?? ? ? ????.R? ? ??? ?又 在 有 任 意 階 導 數(shù) ，( ) ,xf x e? ? ? ? ?例 2 .s i n)( 的冪級數(shù)展開成將 xxxf ?解 () ( ) sin ( ) ,2n nf x x ??? () ( 0 ) sin ,2n nf ??( 2 ) ( 0 ) 0 ,nf??( 2 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ,nnf ? ?? ( 0 , 1 , 2 , )n ?213511s i n ( 1 )3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nn xx x x xn?? ? ? ? ? ? ? ??( , )x ? ?? ??213511 13 5 2 1s i n ( )! ! ( ) !nn xx x x xn?? ? ? ? ? ? ? ??顯 然 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 為 .R ? ??? ?又 在 有 任 意 階 導 數(shù) ，( ) s i n ,f x x? ? ? ? ?例 3 將 1 展 開 成 的 冪 級 數(shù)( ) ( ) ( ) .f x x R x? ?? ? ?解 () ( ) ( ) ( ) ( ) ,nnf x n x ?? ? ? ? ?1 1 1 ?? ? ?() ( ) ( ) ( ) ,nfn? ? ? ?0 1 1? ? ?( 0 , 1 , 2 , )n ?( ) ( ) ( )!!nnx x xn? ? ? ?? ? ? ? ?21 1 112? ? ? ? ??1lim nnnaa???limnnn????? 1? 1,? 1,R??若內在 ,)1,1( ?( ) ( )()!nns x x xn? ? ?? ? ? ? ?111 ? ? ??( ) ( )( ) ( )( ) !nns x x xn?? ? ?? ? ? ? ? ? ??11111? ? ?? ? ?( ) ( )( ) ( )( ) !nnxs x x x xn? ? ?? ? ? ? ? ? ??2 1111? ? ?? ? ?( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ! ! !m m n m m n m m m nn n n? ? ? ? ? ? ? ????利 用( 1 ) ( )x s x???( ) ( ) ( )!!nnx x xn?? ? ? ?? ? ? ? ? ?22 2 11 1 12? ? ? ? ???()sx? ?() ,()sxs x x????1?( 0 ) 1 .s ?且兩邊積分 (),()xxsx dx dxs x x? ? ???00 1? ( 1 , 1 )x ??得 l n ( ) l n ( ) l n ( ) ,s x s x? ? ?01 ?即 ln ( ) ln ( ) ,s x x?? ?1( ) ( ) ,s x x? ? ? ?111( , )x ??211 1 112()( ) ( ) ( )!!nxnx x xn?? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?( 1 , 1 )x ??二項展開式 注意 : .x ?? ?在 1處 收 斂 性 與 的 取 值 有 關( , ) 。? ? ? ??11 收 斂 區(qū) 間 為 11[ , ] .??? 1 收 斂 區(qū) 間
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