函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別-在線瀏覽
2025-07-03 02:09本頁(yè)面
【正文】 而且更重要的是要研究和函數(shù)所具有的解析性質(zhì). 比如能否由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每項(xiàng)連續(xù)、可積、可微, 判斷出和函數(shù)的連續(xù)性、可積性和可微性。 即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。 文獻(xiàn)[6][7][8]給出了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的重要判別法, 如阿貝爾、狄利克雷以及積分判別法。 文獻(xiàn)[10]對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了推廣, 得到了比試和根式判別法, 同時(shí)也有其它一些文獻(xiàn), 得到了一些其它的結(jié)論。 1. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義定義1 設(shè)是定義在數(shù)集Ｅ上的一個(gè)函數(shù)列, 表達(dá)式, (1) 稱為定義在定義域Ｅ上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 簡(jiǎn)記為或。 若, 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) , (3)收斂, 即部分和當(dāng)時(shí)極限存在, 則稱級(jí)數(shù)(1)在點(diǎn)收斂, 稱為(1)的收斂點(diǎn)。若級(jí)數(shù)(1)在Ｅ上的某個(gè)子集Ｄ上的每個(gè)點(diǎn)都收斂, 則稱級(jí)數(shù)(1)在Ｄ上收斂, 并且稱(1)的收斂域?yàn)椋? 級(jí)數(shù)(1)在Ｄ上的每一點(diǎn)與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(3)的和構(gòu)成一個(gè)定義在Ｄ上的函數(shù), 稱為(1)的和函數(shù), 并寫作, 即 , 也就是說(shuō)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列(2)的收斂性。若在數(shù)集Ｄ上一致收斂于函數(shù), 則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂于, 或稱在Ｄ上一致收斂。 定義3 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上和函數(shù)為, 稱, 為函數(shù)項(xiàng)的余項(xiàng)。證明： 由假設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西準(zhǔn)則, 任給正數(shù),存在某正整數(shù), 使得當(dāng)及任何正整數(shù), 有,所以對(duì)一切有根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂。證明： 由不等式可知對(duì)任意x,有。 萊布尼茨判別法定理2 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足下述兩個(gè)條件： 數(shù)列單調(diào)遞減；，則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。證明：是任意閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)列, 且有 , ,由上述定理知, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂。解： 顯然所以，對(duì)任給的只要取對(duì)一切成立，因此在上一致收斂于。證明 () 已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂于, 有,從而 ,即,()已知,即有,。解： 設(shè)。解，得。推論 是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列, 和函數(shù), 都是定義在同一數(shù)集Ｄ上, 對(duì)于任意的, 存在數(shù)列, 使得對(duì), 有, 且, 則稱函數(shù)列一致收斂于, 即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂于函數(shù)。由定義2得函數(shù)列一致收斂于, 即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂于。 柯西準(zhǔn)則定理 (一致收斂的cauchy準(zhǔn)則) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集Ｄ上一致收斂的充要條件為：任給0。證明： (必要性) 設(shè)在Ｄ上一致收斂, 于是有根據(jù)定義,對(duì)任意的, 存在正整數(shù), 只要, 對(duì)一切和任意正整數(shù)有,因此只要, 對(duì)一切有,所以, 對(duì)存在正整數(shù), 只要, 對(duì)一切和任意正整數(shù)有,必要性得證。推論2若 在Ｄ上一致收斂，則。證明：由內(nèi)一致收斂及均收斂，知，同時(shí)有因而，有故在一致收斂。例6 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。根據(jù)優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，易知由阿貝爾判別法，知原級(jí)數(shù)在上一致收斂。證明：是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它的收斂性就意味著關(guān)于x的一致收斂性。由阿貝爾判別法可知級(jí)數(shù)在上一致收斂。 狄利克雷判別法定理6 (Dirchlet判別法) 設(shè)(1) 的部分和函數(shù)列 ()在上一致有界；(2) 對(duì)于每一個(gè)是單調(diào)的；(3) 在上()。證明：由(1)正數(shù), 對(duì)一切, 有,因此當(dāng)有任何正整數(shù)時(shí),對(duì)任何一個(gè), 再由(2)及Abel引理, 得到 ,再由(3)對(duì)當(dāng)時(shí), 對(duì)一切, 有, 所以,于是由一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則知級(jí)數(shù)(4)在上一致收斂。解::因而，級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界。根據(jù)Dirchlet判別法知，原級(jí)數(shù)在上一致收斂。證明： 首先，的部分和函數(shù)列在上是一致有界的。于是根據(jù)Dirichlet判別法，即得所證。證明: 由在數(shù)集Ｄ上一致收斂, 對(duì), , 當(dāng)時(shí), 對(duì)一切自然數(shù)和一切, 有, 由 ,所以在數(shù)集Ｄ上一致收斂。解：函數(shù)，當(dāng)p0時(shí)在上是非負(fù)減函數(shù)。再由積分判別法得當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)0P1時(shí)發(fā)散。例11 討論下級(jí)數(shù)（1）； （2）的斂
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