[所有分類]一致收斂性-在線瀏覽
2025-03-08 13:10本頁面
【正文】 頁 前頁 167。 1 一致收斂性 三、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法 返回 對于一般項是函數(shù)的無窮級數(shù)，其收斂性 要比數(shù)項級數(shù)復(fù)雜得多，特別是有關(guān)一致收 斂的內(nèi)容就更為豐富，它在理論和應(yīng)用上有 著重要的地位 . 一、函數(shù)列及其一致收斂性 二、函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性 返回 后頁 前頁 一、函數(shù)列及其一致收斂性 設(shè) 12, , , , ( 1 )nf f f是一列定義在同一數(shù)集 E 上的函數(shù) ,稱為定義在 E 上的函數(shù)列 . (1) 也可記為 ?{ } , 1 , 2 , .nnf f n或以 0xE? 代入 (1), 可得數(shù)列 1 0 2 0 0( ) , ( ) , , ( ) , . ( 2 )nf x f x f x返回 后頁 前頁 0x 0x如果數(shù)列 (2)收斂 , 則稱函數(shù)列 (1)在點 收斂 , 稱 為函數(shù)列 (1)的收斂點 . 如果數(shù)列 (2)發(fā)散 , 則稱函數(shù) 列 (1)在點 0x 發(fā)散 . 當(dāng)函數(shù)列 (1)在數(shù)集 上每一 DE?點都收斂時 , 就稱 (1)在數(shù)集 D 上收斂 . 這時 D 上每 x { ( )}nfx一點 都有數(shù)列 的一個極限值與之相對應(yīng) , 根據(jù)這個對應(yīng)法則所確定的 D 上的函數(shù) , 稱為函數(shù) 列 (1)的極限函數(shù) . 若將此極限函數(shù)記作 f, 則有 l i m ( ) ( ) ,nn f x f x x D?? ??返回 后頁 前頁 或 ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D? ? ? ?N? ? xD?函數(shù)列極限的 定義 : 對每一固定的 , 任 , 總存在正數(shù) N(注意 : 一般說來 N值與 ?給正數(shù) 和 ?, x)表示三者之間 的值都有關(guān) , 所以有時也用 N( x ?的依賴關(guān)系 ), 使當(dāng) nN? 時 , 總有 | ( ) ( ) | .nf x f x ???使函數(shù)列 {}nf 收斂的全體收斂點集合 , 稱為函數(shù)列 {}nf 的 收斂域 . 返回 后頁 前頁 例 1 ( ) , 1 , 2 , ,nnf x x n? ? ? ?設(shè) 為定義在( )上的 函數(shù)列 , 證明它的收斂域是 ( 1, 1]? , 且有極限函數(shù) 0, | | 1 ,()1 , 1.xfxx???? ?? 證 0 ( 1 ) , 0 | | 1 ,x??任給 不妨設(shè) 當(dāng) 時 由于? ? ? ?| ( ) ( ) | | | ,nnf x f x x??ln( , ) , ( , )l n | |N x n N xx?????只要取 當(dāng) 時, 就有| ( ) ( ) | | | | | .nNnf x f x x x ?? ? ? ?返回 后頁 前頁 0 1 , ,x x n??當(dāng) 和 時 則對任何正整數(shù) 都有| ( 0 ) ( 0 ) | 0nff ? ，? ? ?| ( 1 ) ( 1 ) | 0 .nff ?? ? ?式所表示的函數(shù) . | | 1 | | ( ) ,nx x n當(dāng) 時, 有? ? ? ? ? ?1,x當(dāng)時??又 1 , 1 , 1 , 1 ,??對 應(yīng) 的 數(shù) 列 為 顯然是發(fā)散的 . 所以 {}nx ( 1, 1]?函數(shù)列 在區(qū)間 外都是發(fā)散的 . 故所討論 的 函數(shù)列的收斂域是 ( 1, 1].?這就證明了 在 ( , 1] 上收斂 , 且極限就是 (3) {}nf 1?返回 后頁 前頁 例 2 sin( , ) ( ) ,n nxfx n? ? ? ? ?定義在 上的函數(shù)列1 , 2 , .n ?s i n 1 ,nxnn?10 , ,nN??故對任給的 只要 就有? ? ?s i n n ???,x由于對任何實數(shù) 都有返回 后頁 前頁 所以函數(shù)列 ? ?s in ( , ) ,n x n ? ? ? ?的 收 斂 域 為 極 限( ) 0 .fx ?函 數(shù) 為注 對于函數(shù)列 , 僅停留在討論在哪些點上收斂是遠(yuǎn) 遠(yuǎn)不夠的，重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具 有的解析性質(zhì)的關(guān)系 . 例如 , 能否由函數(shù)列每項的 連續(xù)性、可導(dǎo)性來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo) 性 。1Sx x?? ?所 以 幾 何 級 數(shù) 在 收 斂 于| | 1 , .x ?當(dāng) 時 幾 何 級 數(shù) 是 發(fā) 散 的返回 后頁 前頁 定義 2 { ( ) } ( )nnS x u x?設(shè) 是函數(shù)項級數(shù) 的部分和. { ( ) } ( ) ,nS x D S x函數(shù)列 若 在數(shù)集 上一致收斂于 則稱 ( ) ( ) ,nu x D S x函數(shù)項級數(shù) 在 上一致收斂于函數(shù) ?( ) .nu x D?或稱 在 上一致收斂由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù) 列來確定 , 所以得到的有關(guān)函數(shù)項級數(shù)的定理 . 返回 后頁 前頁 定理 ( 一致收斂的柯西準(zhǔn)則 ) 函數(shù)項級數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件為 : 對任 , 存在正整數(shù) ? N ,nN 時?給的正數(shù) ，使當(dāng) 對一切 xD? ,p一切正整數(shù) 都有和 ? ??| ( ) ( ) | ,n p nS x S x ?或 ? ? ?? ? ? ?12| ( ) ( ) ( ) | .n n n pu x u x u x ?此定理中當(dāng) p=1 時 , 得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂的一 個必要條件 . 返回 后頁 前頁 推論 (函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必要條件 ) 函數(shù)項級 數(shù) ? ()nu x D在 數(shù) 集 上 一 致 收 斂 的 必要條件是函數(shù) { ( )}nux D列 在 上一致收斂于零 . ( ) ( ) ,nu x D S x?設(shè)函數(shù)項級數(shù) 在 上的
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